Höldersehe und Cesärosche Grenzwerte. 
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sprochen werden kann; „Versteht man unter a,., hy (v = 0, 
1, 2 . . .) irgend welche reelle oder komplexe Zahlenfolgen, ist 
1 
ferner lim und lim j • — hy-\ endlich, 
n — ► 00 w — ► X ! 1 
so hat man: 
(29) lim = lim ^ 
n— fx n— ^n— l 
falls der rechts stehende Grenzwert endlich ausfällt“. 
In der Tat sind die den Zahlen h, auferlegten Bedingungen 
erfüllt, wenn gesetzt wird: hy = {c-\-v)y. Man hat nämlich: 
c-f-ll c+2| c -{■ 
1 2 n ’ 
und, da je -f* w| >n (vvegen: 9t (c) > 0), so findet man zunächst, 
daß (c "h n)n gleichzeitig mit n monoton zunimmt. Da über- 
dies, wenn c = y-\-öi (wo: }' > 0) gesetzt wird, sich ergibt: 
und das rechts stehende Produkt für n — ^ oo nach oo diver- 
giert, so folgt, wie behauptet: 
(30) lim I (c -p n)„ | = -p oo . 
|(c 4- n)„ 
Ferner ergibt sich: 
1 
\{c+n)„ 
{C+V-\)y , 
also, da |(c-pw)ni mit n monoton ins Unendliche wächst, 
wiederum mit Benützung des Stolzschen Grenzwertsatzes: 
lim rr- 
1 
\{c+n\ 
I(c-pv — 1)4 = lim 
j(c-pw — 1)„| 
|(c-pw)„| — |(c-pw— 1)„_, 
0 Will man den oben bereits erledigten Fall eines reellen c, also 
den Fall c = y mit einschließen, so wäre das Ungleichheitszeichen ledig- 
lich durch das Zeichen = zu ersetzen , wodurch die weiteren Schlüsse 
keinerlei Änderung erleiden. 
