A. Pringsheim: Zur Theorie der ganzen transc. FiinJctionen. 103 
auch für o<p -\-l, sofern nur S 
i 1 I P "f ' 
nach Voraussetzung 
(Xy 1 
konvergiert. Da nun 
1 \P 
CX\> I 
konvergiert, dagegen XI ! 
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schon divergiert, so haben die Exponenten o, für welche 
I 1 «T 
^]_ konvergiert eine dem Intervalle p-^Q<p-\-y an- 
' (Xy 
gehörige untere Grenze q, sodass also für jedes e > 0 zwar 
! 1 e + ^ 
!-l 
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konvergiert, X 
1 e — e 
divergiert, während das 
Verhalten von X ' — I hierdurch noch in keiner Weise prä- 
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judiziert wird. Ich bezeichne diese Zahl q als den zur Folge 
( 1 .) oder auch zur Funktion P (x) gehörigen Grenz-Ex- 
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ponenten^) und spezialisiere diesen letzteren im Bedarfsfälle 
als Convergenz- bezw. Divergenz -Exponenten,’^) je nachdem 
^ jLr konvergiert oder divergiert.®) Hiernach lässt sich 
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der Inhalt von TJngl. (B) nunmehr folgen dermassen formulieren: 
Ist P(x) vom Grenz-Exjwnenten q, so hat man für 
jedes £ > 0 und \x\> Ee: 
(C) I P(a;) I 
falls Q Konv er gen s- Exponent. Ist dies nicht der Fall 
oder zuini mindesten nicht ertviesen, so hann man nur 
behaupten, dass für jedes d > 0 und x j > i?,i: 
(D) \P{x)\<el-\^'^\^) 
1) Bei Borei: ,Ordre reel“ de P{x}, späterhin nach dem Vor- 
gänge von Sch aper, welcher q als Konvergenz-Exponent bezeichnet, 
auch: „Exposant de convergence de la suite {av).'" 
2) Bei Borei unterschieden als ,ordre par exces“ und ,ordre 
par defaut.“ 
3) Man hat also stets p>p, wenn g Konvergenz-Exponent, 
wenn g D i v e r g e n z - Exponent. 
— für jedes f5i>0 konvergiert, so hätte man 
*) Da X 
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