A. Fringsheim: Zur Theorie der ganzen transc. l'unktionen. 105 
also derjenigen Beziehung, welche nach (A) zunächst einer 
Funktion vom Range p = Q zukommt. Oder anders ausge- 
sprochen: Obschon hier p = = 1 Divergenz-Exponent ist, 
so genügt Pj {x) immerhin der lediglich für den Konvergenz- 
Fall bewiesenen Relation (C). 
Die in der eben angedeuteten Richtung bestehende Lücke 
ist neuerdings durch die Herren P. Boutroux und E. Lindelöf 
im wesentlichen ausgefüllt worden, ja sogar hat das in TJngl. (C) 
enthaltene Resultat insofern noch eine Verschärfung erfahren, 
als an die Stelle des .beliebig kleinen“ Faktors s eine durch 
das infinitäre Verhalten der tty bedingte, gleichzeitig mit x = cc 
gegen Null kouA^ergierende (oder auch ins Unendliche 
wachsende) Funktion von \ x' getreten ist. Herr Lindelöf 
hat nämlich den folgenden Satz bewiesen:^) 
Ist < p < -|- 1 und von einem hesümmten n ah: 
i 
j > (w • A {n)Y , ivo: yl(^^) = (lg^^)"^•(lg2w)“2•••(lg«^^)">^, 
(oj, 02 , . . .a.y_ heliehig reell), so hat man für alle hinlimjlieh 
grossen x: 
(CO |P(a:) (A>0). 
Und Herr Boutroux hat darauf aufmerksam gemacht,^) 
dass dieses Resultat schon in einem von ihm zuvor mitge- 
teilten,®) etwas allgemeineren Satze enthalten sei. Durch die 
obige Verschärfung der Ungleichung (C) haben indessen die 
betreffenden Beweise so erhebliche Komplikationen erlitten, 
dass sie als elementare wohl kaum noch bezeichnet werden 
können. Zugleich hat sich gezeigt, dass die im Falle eines 
ganzzahligen p auftretenden Schwierigkeiten,^) Avelche 
eigentlich den Anlass zur Einführung jener Verschärfung ge- 
h A. a. 0. p. 24 (eine vorläufige Mitteilung schon: Comptes rendus, 
T. 133 [1901], p. 1279). 
Comptes rendus, T. 134 (1902), p. 82. 
3) Ebendas. T. 132 (1901), p. 252. 
*) Vgl. § 3. 
