106 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. Februar 1903. 
geben hatten, auf diesem Wege wohl einigerin assen einge- 
schränkt, aber keineswegs prinzipiell behoben werden 
können. Auf der anderen Seite gewinnt man tatsächlich schon 
eine einigermassen befriedigende Einsicht in das Wesen der 
hier in Betracht kommenden Fragen, sobald man nur über die 
Gültigkeitsgrenzen der Ungleichung (C) möglichst genau orien- 
tiert ist. Im folgenden soll nun vollkommen elementar gezeigt 
werden, dass jene Gültigkeitsgrenzen im Falle eines nicht- 
ganzzahligen Q vollständig, im Falle eines ganzzahli- 
gen^) Q wenigstens teilweise festgestellt werden können, 
nämlich : 
Die notwendige Bedingung für die Existenz der Be- 
ziehung (C) besteht keineswegs in der {allemal hinreichenden') 
Konvergenz der Beihe'^ — ' , vielmehr lediglich in der 
Uy i 
Beziehung : 
(E) 
lim V ’ \ — j = 0. 
J- — QO L Uy \ 
Diese letztere ist zugleich auch hinreichend , wenn g 
keine ganze Zahl. Ist dagegen g eine ganze Zahl, 
1 " 
X,' — 1 divergent, so erscheint in Verbindung mit 
I Uy 
Gl. (E) als hinr eichende Bedingung die Beziehung: 
1 
0 .^) 
Der erste Teil dieses Satzes wird in § 1, der zweite 
für Funktionen vom Bange 0 in § 2, für solche vom Bange 
> 1 in § 3 bewiesen. In § 4 werden dann die bekannten 
0 Der Fall des Grenz -Exponenten (und zwar offenbar allemal 
Di ver gen z- Exponenten) o = 0, welcher z. B. eintritt, wenn Ov = a'’ 
und n I < 1, ist hier ein für allemal auszuschliessen, da alsdann die 
Möglichkeit der Bedingung (C) hinfällig wird. 
2) Dabei wird also die Reihe X (^)' bedingt konver- 
gent vorausgesetzt. 
