A. Pringsheim; Zur Theorie der ganzen transc. Funktionen. 117 
Da im übrigen offenbar Cp,„> 1, so ergibt sieb mit Rück- 
sicht auf Ungl. (29) die Gültigkeit Yon (30) für jedes von 
Null verschiedene u. 
2. Hauptsatz. JEs sei p eine positive ganze Zahl, 
^ 1 Ip I 1 ;p + i 
^ — ! divergent, zj [ — i Iconvergent, also: 
(ly \ 1 Cly 
(31) P(*)=^. £,(£), 
wo: Ep 
eine ganze Fnnlition vom Range p. Ist sodann für irgend 
ein dem Intervalle p a -^p 1 angehöriges o : 
(32) lim V • ^ — 
1 ily 
= 0 {anders geschriehen: | a,, i >• 
so hat man für jedes e> 0 und x\> 
(33) \Pix)\<e^-\^\\ 
Dieses Residtat gilt auch noch im Falle o = p, tvenn 
* 1 
2j’' bedingt honvergiert und die Summe 0 besitzt.^) 
1 Öl- 
Beweis. Wir unterscheiden hier die 3 Fälle o = p 1, 
p <. o <. p o = p. 
I. Sei zunächst a = p-{-\, in welchem Falle wiederum 
die Voraussetzung (32) eo ipso erfüllt ist. Man hat, wenn m 
eine beliebige natürliche Zahl bedeutet, mit Benützung des 
zuvor bewiesenen Hilfssatzes: 
\P{x) 
n^Ep 
|m + l 
< e 1 
X 
m-j-l 
X jp + 1 
a„ I 
(34) 
1 
a„ 
IP 
)« + 1 
1 IP+1\ 
I / 
|xlP + l 
') Das letzte Resultat findet sich auch hei P. Boutroux: Comptes 
rendus, T. 134 (1902), p. 83. 
