206 
Sitzung der viath.-phys. Klasse vom 7. März 1903. 
3. Zur Bündigkeit des Franklinschen Beweises ist das 
Eidiilltsein einer der beiden Gleichungen: 
j jx «gn U (^0 —/■(»]= sgn ly {x) — y (?/)] 
sgn — fiy)] = — sgn [</ (a:) — y (</)J 
erforderlich für das ganze zweidimensionale Wertgebiet 
a <x <h, a<y<h, 
zur Bündigkeit des meinigen hingegen nur das Bestehen einer 
der beiden Gleichungen 
sgn [/’(^) — /m] = sgn [y {x) — y (x,„)] 
sgn if{x) — /„.] = — sgn ly (x) — y (a^)] 
für die einfache Wertmannigfaltigkeit 
a<x^h. 
In diese Form lassen sich die in meinem Aufsatz bei III) 
angegebenen und die für das Zustandekommen von V) dort erfor- 
derlichen Bedingungen, und zwar gleich für all die verschiedenen 
Verlaufsmöglichkeiten bei f {x) und y {x), zusammenfassen. 
Dabei bedeutet fm den Mittelwert der f (x) 
IV) U=-^Jj(x)dx 
Xm den (später jeden) Wert, welcher f(x,„)=fm macht oder 
wenigstens eine der beiden Ungleichungen 
y. f{Xm — £)> fm > + S) 
f ix,n — e) ^ fm ^ f (a:,n + d) 
erfüllt für beliebige positive e und d, welche Xm — e und 
Xm -|- d innerhalb des Integrationsintervalls belassen. 
Mit andern Woi’ten: 
4. Die durchgehende Monotonie der Funktionen ist eine 
hinreichende, aber, worauf ich im vorigen Aufsatz noch nicht 
hingewiesen habe, durchaus nicht notwendige Bedingung für 
die Giltigkeit des Satzes 
