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Sitzung der math.-phys. Klasse vom 7. März 1903. 
7. Um dies völlig klar zu stellen, müssen wir genauer dar- 
legen, welcherlei Beschränkung die Franklinsche Bedingung 
den Gestalten von F und G auferlegt. Die Kurven brauchen 
nicht monoton zu sein, können auf- und absteigen und ein 
und dieselbe X-Parallele an mehr als einer Stelle überschreiten. 
Aber : 
AVenn von der Kurve F beliebige Punkte flj, a^. . . 
auf der einen, beliebige andere 6j, \ ■ auf der 
andern Seite einer X-Parallelen P liegen, so existiert 
auch immer (mindestens) eine X-Parallele P', welche 
die entsiirechenden 6r-Punkte a',, al, aj . . . auf der einen, 
//„ ^3 . . . auf der andern Seite^) liegen hat. 
Beweis: 
8. Wenn auf P ein P-Punkt p liegt, so ist die gewünschte 
Gerade P' die durch den entsprechenden G-Punkt p' gehende 
X-Parallele. 
Bezeichnet man die Ordinaten von Punkten einen Augenblick 
durch den Punktbuchstaben selbst, so gilt nach Franklins 
Voraussetzung: 
YII) sgn (a, — pt) (a'i—p‘) = sgn (&* — {hk — j/) , ev. ambig ; 
da aber nach einer unserer A^orannahmen 
VIII) sgn (a,- —p) = — sgn (hu — J )) , 
so muss auch 
IX) sgn {a'i — 2)') = — sgn (b'k — i/), ev. ambig 
sein, d. h. a'i und h'k liegen zu verschiedenen Seiten von P'.’) 
Ganz ähnlich schliesst man aus VII) und 
X) sgn (a,- — p) = sgn (a^ — p) , dass 
XI) sgn (a'i — 2)') = sgn (a* — ^Z), ev. ambig 
ist, dass also a'i und al auf der nämlichen Seite von P 
liegen ‘) etc. 
P' trennt also, wie verlangt, die beiden Punktgruppen 
« 1 , a',, a'i . . . und h'i, K, 63 ... . ^) 
1) Wobei die Lage auf P' selbst noch für zulässig gilt. 
