H. Brunn: Nachtrag zu dem Aufsatz über Mittelwertssätze. 209 
9. Wenn auf P kein P-Punkt liegt, was bei den für die 
Kurve F zulässigen Unstetigkeiten möglich ist, so müssen zwei 
X-Parallele Q und P existieren, welche P, aber keinen F- 
Punkt zwischen sich einschliessen, und welche die der Geraden 
P beiderseits zunächst liegenden P-Punkte enthalten, oder 
wenigstens je einen Grenzpunkt, dem sich die Kurve P annähert. 
10. Auf jeden Fall lassen sich denselben zwei X-Parallele 
Q‘ und P' mittels G zuordnen. Die Zuordnung ist klar, sobald 
Q und P nur je einen einzigen Punkt von P enthalten; ent- 
halten sie mehr, so wählt man von den durch die entsprechenden 
G-Punkte gezogenen Q' und P' die , innersten“, ev. die Grenz- 
geraden, welchen diese Q' und P' nach innen zu sich nähern. 
Im Falle aber eine der Geraden, etwa Q. nur einen Grenzpunkt 
enthält, lässt sich auf P — das sich dem Q möglicherweise 
nicht monoton annähert — eine ins Unendliche laufende Keihe 
von Punkten /j, Z^, Zg . . . angeben, deren Ordinaten monoton sich 
der Ordinate von Q annähern, und denen auf G Punkte Zj, Z 2 , Z!, . . . 
mit ebenfalls monoton sich ändernden Ordinaten entsprechen. 
Bei einem zwischen endlichen Grenzen vorausgesetzten Verlauf 
der eindeutig auf einander bezogenen Funktionen f (x) und g (x) 
müssen die Ordinaten Z' sich ebenfalls einem bestimmten Grenz- 
wert, die Punkte Z' also sich einer bestimmten X-Parallele Q' 
annähern. 
Ebenso würde man, wenn P eine Grenzgerade wäre, zwei 
zu den Z und Z' analoge Punktreihen jHj, . . . und 
m'i, m' 2 , ni ‘3 . . . finden, durch deren zweite ein P' bestimmt wird. 
1 1 . Zunächst sei gezeigt, dass zwischen Q' und P' kein 
G-Punkt n' liegen kann. Liegen auf Q‘ und P' G-Punkte, 
so würde n' einen P-Punkt n zwischen Q und P, oder auf 
Q oder P fordern, was auf Widersprüche gegen Annahmen 
bei 9. oder 10. führt. Sind Q' und P' als Grenzlinien bestimmt, 
so schliesst man : 
12. Da n' sowohl von Q' als P' eine endliche Entfernung 
haben würde, so müsste es sicher zwischen den durch Z;. und 
Dill gezogenen X-Parallelen liegen für jedes /, bezw. /<, das 
grösser als eine hinlänglich gross gewählte Zahl /g, bezw. 
1903. Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. 14 
