Finsterte alder u. Scheufeie: Bücicwärtseinschneiden im Raum. 601 
^biX [2(.- X b.] — 2- bi X [X X b,] +ZbiX [2t.- X [U X b.-]] 
= 2- 21,- — 2 b.- 21,- • b,- - « X + 2 b,- X • b.- — 2 Ät U X b.- = 0. 4) 
— 2b.x[2tiX[2t.Xb.-]]4-2b,x[2t.X[Xxb,]l-2b.x[2t,X[2l,X[Uxb,]]] 
= -t- 2 A, 2t, X b, — 2^,X X b, - 2^b,x[b,X [2t, X [Ux b,]l] 
= 2 Ai 2t, X b, — X X 2 Ai b, — 2 Ai b, X [Ai U X b,] 
= 2^,2t,Xb,-Xx2^,b, - ll2.4f + 2^fb,U-b, = 0. 5) 
Gellt man von den Vektoren zu den Koordinaten über, 
so entstellen aus jeder der zwei Vektorengleichungen 4 und 5 
drei Koordinatengleicliungen, die nachstehendes System zur 
Bestimmung der Werte von u, v, tv, x, y, z liefern:^) 
+u 2! A"^ {X-o}) - V Z a ß —IV 2! A‘^ ay —y2Ay-\-z2Aß+a^-0 
—u2A^aß+v2A’‘'{\-ß'^)-tv2Ä^ßy+x2Ay —z2Aa-\-o^ — 0 
— ti2A^ay-v2A^ßy + iv2A^{\—y'^)-x2Aß+y2Aa +03 = 0 
-\-v2 Ay-^v2Aß+x{n-2o})-y2aß-z2ay-i-a^-0 
-u2Ay -\-iv2Aa-x2aß-i-y{n-2ß^)-z2ßy-\-o^ = 0 
+t(2Aß—v2Aa — x 2 ay — y 2 ß y + z(n-2 y"^) + Oq = 0 
wobei : 
o,=2AiYy-Zß) a^= — 2X-f 2a(Xa-f- 2/3 + 2/) 
o, = 2AiZa-Xy) O 3 = - 2 2+ 2^ (Xa + 2/3 + 2/) 
Ö 3 = 22 (X/3- 2a) 03 = - 22 + 2/ (Xa + 2^ + 2/) 
6 ) 
7) 
Auch das gesuchte Minimum der Summe der Quadrate der 
Abstände lässt sich leicht ausdrücken ; Q 
S = 2(2txb-Xxb + 21x[Uxb])2 = 2(2tXb-Xxb + 2U-2l-U b)^ 
= 2{(2t X b)" i- (X X b)-" + 2* IP (2t-U)" - 2(2t> b)-(Xxb) + 22(2t> ,b)-U 
-22Xxb-U-22U-bU-2t} 
= (wX-2bX-b -22Uxb-22t + 22t-bb)-X 
+ (-22Xxb-22 2tb-U-f ll22-^ + 22 2tXb)-U 
+ 2(2txb)^-22t-X + 22t- bX-b + 22U-2tXb. 
b Zur Vereinfachung der Schreibweise ist der Index i im folgenden 
weggelassen. 
2) Man beachte, dass (9t X S3) • (6 X $) = 31 • 6 93 • $ — 2l • 52B • 6 
und 3t • 93 X 3t = 0. 
