602 Sitzii mj der matli.-pliys. Klasse vom 7. November 1903. 
Die eingeklanimeiien Ausdrücke in den beiden ersten Zeilen 
sind aber infolge der Gleichungen 4 und 5 Xull. Der übrig 
bleibende Teil lautet dann, in Koordinaten geschrieben : 
S — u V w X o^-\- y n^-\- z S^., 8) 
wo S^= Z (2( X b)* die Summe der Quadrate der Abstände vor 
der Ausgleichung bedeutet. 
Die 6 Gleichungen haben die Form von Xormalgleichungen 
im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate.^) Dass sie wirk- 
lich Xormalgleichungen sind, was bei der Vernachlässigung von 
Grössen zweiter Ordnung nicht unbedingt der Fall sein muss, 
lässt sich durch eine andere Ableitung desselben Gleichungs- 
systems zeigen, welche sich den üblichen Methoden der Aus- 
gleichsrechnung mehr anschliesst: Der kürzeste Abstand g, des 
Punktes P, vom zugehörigen Strahl in der korrigierten Lage 
lässt sich bis auf Gi'össen 2. Ordnung als Differenz zweier 
Vektoren ausdrücken ; 
21, — X - 1/(21, — (b, + U X b,) = g,. 9) 
Entwickelt man die Wurzel und behält man die Glieder 
niedrigster Ordnung bei, so ergibt sich die Gleichung: 
21 • 
21, - M, b, - X + b, - U X 21, = g,. 10) 
■Ti-i 
0 Verzichtet man auf die Herstellung von Normalgleichungen, so 
lassen sich im Gleichungssystem 6 die Summen a^ . . mit Benützung 
der Abkürzungen A A a = X — A a; A A ß = Y — Aß; AAy=Z — Ay 
und unter Vernachlässigung weiterer Grössen 2. Ordnung folgerichtiger 
schreiben : 
at = XAUyAß — ßAy) = — X A A a 
02 = X A'^ (a A y — y A a) 05 — X A A ß 
as = XA^(ßAa — aAß) Og = - X A A y 
Die Grössen a^ Of, og können als Komponenten der geometrischen 
Summe der kürzesten Abstände vor der Ausgleichung gedeutet werden. 
Ebenso 0 , 02 03 als Komponenten der Momentensumme jener Abstände 
in Bezug auf den Näherungspunkt. Ihr Verschwinden sagt aus, 
dass diese Abstände ein Gleichgewichtssystem bilden. In 
diesem Falle verschwinden auch 11 und X und das Minimum der Quadrat- 
summe ist schon vor der Ausgleichung vorhanden. 
