674 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 5. Dezember 1903. 
dehnt, sofeni nur diese letztere im Innern desjenigen Be- 
reiches verläuft, für welchen die zu integrierende Funktion 
gewissen Bedingungen genügt. Darnach reicht es also in der 
Hauptsache vollständig hin, Sätze über geschlossene Integrale 
für den Fall eines zu den Koordinaten-Axen parallel gestellten 
Bechtecks zu beweisen. Dies gilt sogar auch noch, wenn 
man die von Herrn Heffter bezüglich der nur rektifizier- 
baren Integrations-Kurven gemachte Einschränkung fallen lässt 
und für die über letztere zu erstreckenden Integrale die (jene 
Einschränkung nicht erfordenide) Definition des Herrn Camille 
Jordan^) zu Grunde legt. Alsdann kommt es nämlich in 
letzter Linie nur darauf an, InteOTalsätze der frasrlichen Art 
für den Fall eines beliebigen Dreiecks zu beweisen.^) Da 
mau ja aber diesen Fall nach dem oben gesagten durch Ap- 
proximation vermittelst eines ,Treppenweges“ erledigen kann, 
so ist schliesslich auch jener allgemeinste Fall auf den 
.Kechtecks*-Beweis zurückgeführt. Man kann hiernach sagen, 
dass dieser letztere dem praktischen Bedürfnisse im weitesten 
Umfange Genüge leistet; freilich wohl nicht ganz so vollständig 
dem logischen. Denn, wenn wir auch bei der Analyse 
krummer Linien gezwungen sind, zu Grenz -Vorstellungen 
zu greifen und sie durch passend gewählte gebrochene Linien 
zu approximieren, so muss es doch andererseits wohl als eine 
logische Anomalie gelten, wenn man nun auch die einfache 
Vorstellung der geraden Linie wiederum durch die Grenz- 
Vorstellung eines .Treppenweges' ersetzt. Infolge dessen 
will es mir aus logischen Gründen wünschenswert erscheinen, 
die Eigenschaften des geradlinigen Integrals direkt aus der 
Definition, ohne Benützung eines durch das Wesen der Sache 
in keiner Weise gebotenen Grenz -Prozesses herzuleiteu : was 
Cours d’ Analyse, 2“® ed. T. I (1893), p. 181. 
2) A. a. 0. p. 168. 
3) Damit steht nicht im Widerspruch, dass auch die Erkenntnis der 
Möglichkeit, ein geradliniges Integral durch ein Treppen - Integral 
beliebig zu approximieren, an sich wertvoll erscheint, weil sie deutlich 
zeigt, dass für den Wert solcher Integrale die Länge des Integi-atious- 
