A. Pringsheim: Der Cauchy-Goursat'sche Integralsatz. H77 
3. Dies Torausgeschickt beweisen wir jetzt den folgenden 
Satz (Übertragung der Goursat 'sehen Verallgemeinerung des 
Cauchy’schen Integral-Satzes auf reelle Kurven-Integrale) : 
Sind P{x,y), Q.{x,y) eindeutig definiert und differemier- 
har^) im Innern und auf der Begrenzung"^) eines Drei- 
ecks A und besteht daselbst die Beziehung: 
(5) -P 2 y) = Qx (^> y) > 
so hat man: 
(6) ^{B-dx-^ Q-dy) = 0. 
(I) 
Beweis. Halbiert man die drei Seiten von A und zer- 
legt A durch geradlinige Verbindung der Halbierungspunkte 
in 4 kongruente, dem ursprünglichen ähnliche Dreiecke A^f^ 
(>i = 1, 2, 3, 4), so hat man: 
4 
S(P-dx-l- (^•dy) = '^- f (P-dx-}- Q- dy), 
(.1) 1 
und daher: 
f(P-dx-i-Q-dyi^^- 
' (J) I 1 
X (P’dx-h Q- dy) . 
(.M) 
Unter den 4 Dreiecken A^f^ muss dann offenbar minde- 
stens eins vorhanden sein, für welches: 
J {P-dxArQ'dy):>^\^{P-dx-\-Q-dy) 
ausfällt. Es werde dieses Dreieck oder, wenn mehrere dieser 
Art vorhanden sein sollten, ein beliebig aus diesen herausge- 
Die Differenzierbarkeit einer Funktion f{x,g) indem oben 
definierten Sinne scbliesst offenbar allemal schon die Stetigkeit von 
f {x, y) mit ein. 
*) Das Verhalten bezw. die Existenz von P(x,y), Q{x,y) ausser- 
halb A kommt überhaupt nicht in Betracht. Insbesondere brauchen 
also P(x,y), Q{x,y) für die Punkte der Begrenzung nach aussen hin 
weder diflferenzierbar, noch stetig zu sein. 
