A. Pringsheivi: Der Cauchy-Goursat’sclce Tnlegralsatz. 
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auf Grund der vorausgesetzten Differenzierbarkeit von P {x, y), 
Q (x, y) ein d > 0 so fixieren lassen, dass : 
(9) 
\ l"{x, y\x^, xj;)\ \ 
' Q{x,y x^, ?/o) I I 
< e ■ (I ^ - ^0 1 + I y — 2/o ) 
für alle dem Bereiche A angehörigen (a;, y), welche den Un- 
gleichungen genügen: 
(9*) 
\y -Vo ' j 
Andererseits ergibt sich mit Benützung der Transformation 
(4^), (4’’) zunächst: 
({P>dx+ Q-dy)^ UPix,y x^,y^) dx-[- Q{x,y x^,y^)-dy) 
i) c») 
+ 1\ (^0- f/o) J y • -H (^0^ 2/o) X ^ • ^y- 
(-6.) (hd 
Da aber nach Voraussetzung (Gl. (5)): 
-^2 (^0’ y^ ^o) 
und sodann: 
^ y • dx ^ X • dy = ^ d (xy) = 0, 
(J„) (-<„) 
so reduziert sich die obige Gleichung auf die folgende: 
(10) jiP-dxi- Q-dy) = ^(Pix,y\Xf„ya)-d^-^ Q(^,y\^o,yo)-^^y)- 
(J„) (^«) 
Wird jetzt n gross genug angenommen, dass zl„ voll- 
ständig in die durch Ungl. (9®) charakterisierte Umgebung des 
Punktes (x^, y^ hineinfällt, so folgt aus Gl. (10) mit Benützung 
der Ungleichungen (9): 
^ {P ■ dx ^ Ql - dy)\<e- ^{\x-x,\-A-\y -y,\)-{\dx\A-\dy\). 
(^„) (bd 
Wegen : 
\y -yo\) ~ ^ 
wird sodann: 
