680 Sitzung der math.-phys. Klasse vom 5. Dezember 1903. 
^{Pdx+ Q-dy)\<e-s„- dx\-\-\dij\) 
('„) (J„) 
< £ • 5„ • 2 s„ = £ • 2 = e • 2 • (s.Gl.(8)), 
sodass also die Ungleichung (7) in die folgende übergeht: 
(11) I J’(PfZa:+ ^-(7^)1 <£-2 s, 
(J) 
d. h., da £ unbegrenzt verkleinert werden kann, schliesslich, 
wie behauptet: 
^ {P • dx Q ■ dy) 0. 
(J) 
4. Man bemerke, dass die bei dem obigen Beweise als 
grundlegend vorausgesetzte Bedingung der Differenzierbar- 
keit von P {x, y), Q {x, y) (immer in dem oben näher definierten 
Sinne) einen wesentlich anderen Charakter besitzt, wie die- 
jenigen Bedingungen, welche zum Beweise des betreffenden 
Integralsatzes mit Hilfe des Green’scben Satzes: 
SSiQ,-P,)dx-dy = ^{P.dx+Q^dy) 
erforderlich sind. Diese letzteren sind Stetigkeits-Bedin- 
gungen für {x, y), Pg (x, y), welche die Existenz der Doppel- 
Integrale ^ ^ Qy - dx dy, ^ ^ P.^- dx dy nach sich ziehen sollen, 
welche also, allgemein zu reden, in gewissem Umfange die 
Existenz von Stetigkeitspunkten für (a:, ?/), P^ (a:, y) als F unk- 
tionen der beiden Veränderlichen {x,y) verlangen.*) Dagegen 
hat die Differenzierbarkeit von Q {x, y), P (x, y) zunächst 
mit der Stetigkeit von Q^(x,y), P 2 (x,y) überhaupt nichts 
zu tun (wenn auch umgekehrt nach einem bekannten Satze'*) 
die Stetigkeit von (x, y), P^ {x, y) als Funktionen von (a:, y) 
für die Differenzierbarkeit von Q {x, y), P{x, y) sich als 
hinreichend erweist). Hierin liegt aber eine neue Bestätigung 
der von mir bei früherer Gelegenheit®) gemachten Bemerkung, 
*) Genaueres s. dieser Berichte Bd. 29 [1899], p. 59. 
2) Stolz, a. a. 0. p. 134. 
®) A. a. 0. p. 60. 
