A. Pringsheim: Der Cauchrj-Goiirsat’sche Integrahatz. 681 
dass der Green’sche Satz keineswegs als allgemeinste Grund- 
lage der Relation ^ {P • dx -\- Q ' dy) = 0 angesehen werden 
kann. 
5. Aus dem in Xr. 3 bewiesenen Satze für reelle In- 
tegrale gewinnt man unmittelbar den Cauchy-Goursat’schen 
Satz für komplexe Integrale: ^f{ 2 )-d 2 = 0, wenn man 
(J) 
^ f {s) ■ dz in seinen reellen und imaginären Teil zerlegt. Da- 
gegen lässt sich nicht umgekehrt der Satz von Xr. 3 aus dem 
entsprechenden Satze für J f{z) • dz herleiten. Man würde auf 
diesem Wege immer nur das Resultat gewinnen, dass: 
^{P-dx-\- Q- dy) = 0, 
(^) 
wenn P (x, y), Q {x, y) ausser den früher angegebenen Bedin- 
gungen auch noch der Beziehung: 
Pi (^. y)=^ — Qi y) 
genügen. Der Satz von Xr. 3 ist also der allgemeinere und 
schon aus diesem Grunde dürfte es zweckmässig erscheinen, 
ihn als den eigentlichen Fundame ntals atz zum Ausgangs- 
punkt zu nehmen, zumal ja überhaupt die prinzipielle Zurück- 
führung der komplexen Integrale auf reelle Kurven-Integrale 
in logischer und praktischer Hinsicht erhebliche Vorzüge besitzt. 
Will man freilich nur die Beziehung ^ f {z) • d z = f) 
(J) 
(unter der Voraussetzung eines eindeutigen, dilferenzierbaren 
f {z)) auf dem denkbar kürzesten Wege herleiten, so braucht 
man nur das in Xr. 3 angewendete Beweisverfahren mutatis 
mutandis direkt auf ^f{z)-dz zu übertragen. Man findet 
zunächst, analog wie dort: 
(12) ^f{^)-dz . ^f(z)-dz . 
(^) (^„) 
Bezeichnet man sodann mit Zq den Grenzpunkt der J„, 
so besteht auf Grund der vorausgesetzten Differenzierbarkeit 
von f{z) eine Beziehung von der Form: 
(13) \f{z\zX = \fiz)-f{z^)-fX^o)<^-^o)\<^->-^o z-z^\<d. 
