Eine der wichtigsten Grundlagen für die Theorie der 
analytischen Funktionen mehrerer Veränderlichen sowie für 
die Theorie der impliziten (speziell also der algebraischen) 
Funktionen einer oder mehrerer Veränderlichen bildet der 
’We ierstraßsche , Vorbereitungssatz“ , welcher über die in 
der Umgebung der Stelle x = = ••• — Xn = 0 ge- 
legenen Xullstellen einer Potenzreihe von x, x^, x^, . ... x„ 
Auskunft gibt. ') Es soll im folgenden für diesen Satz ein 
elementarer Beweis angegeben werden, welcher, obwohl nur 
auf Überlegungen einfachster Art beruhend, bisher unbekannt 
geblieben zu sein scheint. Derselbe gewinnt eine besonders 
übersichtliche Gestalt, wenn man einen speziellen Fall des 
Laurentschen Satzes für mehrere Veränderliche zu Hilfe 
nimmt, nämlich die Entwicklung einer im Gebiete Po ^ 
1 a;,- 1 < p,- eindeutigen und regulären Funktion von x, x^, x^, . . ., x„ 
in eine nach steigenden und fallenden Potenzen von x sowie 
nach steigenden Potenzen von x^, x^, ■ . ., x„ fortschreitende 
(n -(- l)-fache Reihe.^) Aus diesem Satze ergibt sich dann 
') Weierstraß, Einige auf die Theorie der analytischen Funk- 
tionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze, § 1 (Abhandlungen 
aus der Funktionenlehre, p. 107 = Werke II, p. 135). Außer dem nur 
auf elementaren Betrachtungen fußenden Weierstr aß sehen Beweise 
ist noch ein Beweis von Simart (siehe Picard, Traite d’aualyse II, 
B® edit. p. 241—245, 2® edit. p. 261 — 265 sowie Jordan, Cours d’analyse II, 
2® edit. p. 301 — 306) bekannt geworden, welcher auf der Anwendung 
von Randiiltegralen beruht. (Vgl. auch Enzykl. der math. Wiss. II B 1, 
Osgood, Nr. 45 und Fußnote 181.) Kurz vor der Drucklegung dieses 
Aufsatzes erschien ein auf Betrachtungen völlig anderer Art beruhender 
Beweis von Goursat (Bull. soc. math. 36 (1908), p. 209—215), bei welchem 
von der Theorie der impliziten Funktionen Anwendung gemacht wird. 
^) Doch kann in der nämlichen Weise wie beim Weierstraß- 
schen Beweise die Anwendung des Laurentschen Satzes auch umgangen 
werden. (Vgl. p. 8, Fußnote *).) 
