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3. Abhandlung: F. Hartogs 
zunächst in bekannter Weise die Darstellung einer im ge- 
nannten Gebiete regulären und nichtversch windenden Funktion 
durch einen gewissen Exponentialausdruck (§1); bei Zugrunde- 
legung dieser Darstellung erfordert aber der Beweis des 
Weierstr aßschen Satzes selbst nur noch wenige Bemer- 
kungen (§ 2). Was den Laurent sehen Satz betrifft, so läßt 
sich dieser in der Gestalt, in der er hier benutzt wird, eben- 
falls leicht elementar beweisen, worüber einiges Nähere in § 3 
hinzugefügt ist.' 
§ 1- 
Darstellung einer in einem gewissen Gebiete regulären und nicht- 
verschwindenden Funktion durch einen Exponentialausdruck. 
Es sind hier die folgenden beiden Sätze zu beweisen, von 
denen der erste als Vorbereitung für den zweiten dient: 
1. Ist die Funktion F{x^, . . ., a;„) im Gebiete 
(i = 1, 2, ..., w) eindeutig, regulär und nicht- 
verschwindend, so gibt es eine in diesem Gebiete ab- 
solut konvergierende, nach ganzzahligen positiven 
Potenzen von x^, x^, . . x„ fortschreitende Reihe 
iß (iCj, ajg, . . ., x„) derart, daß: 
F{x„ x„ . . .,x„) = e^ (1 I < ?.)• 
1 3F . 
Beweis. Da die Funktion >, im betrachteten Ge- 
F dx^ 
biete eindeutig und regulär ist, so läßt sie sich daselbst durch 
eine absolut konvergente gewöhnliche Potenzreihe {x^, x.^, 
. . ., x„) darstellen, welche nach Potenzen von x^ geordnet werden 
möge: 
dF 
= iß(a;j, x^, . . ., x„) = £; ^,(5^2, x^, . . ., x„)x^; (Ix^ \ < q,). 
^ r = 0 
Daraus folgt: 
V+l 
S '1-b *3. ■ M sd — 
F{x^, x .^, . . ., x„) = F{x.^, . . ., Xn) e’'=“ 
(| I Pi)) 
