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3. Abhandlung: F. Hartogs 
Oo<|a;|<o, |a;,|<o,- 
eindeutig und regulär ist, so gilt nach dem Laurent sehen 
Satze (vgl. § 3) für dieses Gebiet: 
dF 
dx , . 
~p~ X 2 , • • x„^ x”. 
»’ = — oo 
Dabei bedeuten die (x^, x.^, . . x„) gewöhnliche Potenz- 
reihen von x^, x^^ ■ ■ und der rechtsstehende Ausdruck 
ist, auch wenn er als {n -j- l)-fache Reihe aufgefaßt wird, iin 
betrachteten Gebiete absolut konvergent. Denkt inan sich nun 
den Variablen x^, x.^, . . x„ irgend ein spezielles (den Bedin- 
gungen genügendes) Wertsystem beigelegt, so be- 
zeichnet nach einem bekannten Satze der Koeffizient von x~' 
die Anzahl der dem Gebiete j a: [. < angehörenden Elementar- 
nullstellen von F(x, x^, . . ., x„). Es ist also (x^, x.^, . . x„) 
für jedes derartige Wertsystem gleich einer (nicht negativen) 
ganzen Zahl und somit konstant: 
“j?-! {x^, X 2 , . . ., x„) = m. 
Hieraus folgt: 
^ 
F(x,x^, ...,x„)= F{x^,X 2 , ...,x„)-x"'e^''^~'^ 
wobei der Exponent offenbar wiederum eine im betrachteten 
Gebiete absolut konvergente (n -|- l)-fache Reihe darstellt und 
F{x^,X 2 , . ■ x„) eine für Xi \ < p,- eindeutig definierte, von x 
unabhängige Größe bedeutet, welche, wie aus der Gleichung 
heiworgeht, überdies für jedes derartige AVertsystem regulär 
und von 0 verschieden ist. Nach dem vorigen Satze gilt also: 
fP(a:j, x^, . . ., a;„) = (|a;, | < p,), 
wo ‘^?(a;,, x^, . . ., x,^ eine für j < p,- absolut konvergente ge- 
wöhnliche Potenzreihe bezeichnet, und durch Einsetzen in die 
vorige Gleichung folgt daraus die Behauptung.^) 
h Wird von der Funktion F(x, Xi, . . ., .Tn) lediglich vorausgesetzt, 
daß sie im Gebiete oo < I 1 < e. 1 ?,• eindeutig definiert, regulär 
