über den Weierstraßschen Vorbereitungssatz. 
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Beweis des Weierstrassschen Vorbereitungssatzes. 
Es handelt sich um den Beweis des folgenden Satzes: 
Ist F (x, x^, . . x„) eine für die Umgebung der 
Stelle X = x^ = ■ ■ ■ = Xn = ^ eindeutig definierte und 
reguläre Funktion der Veränderlichen x, x^, . . und 
verschwindet die Funktion F {x, 0, . . 0) von x iür x~Q 
genau von der w*®" Ordnung (w > 1), so gilt für eine 
gewisse Umgebung 
I a; I < £), I a;,- j < Oj (i = 1, 2, . . n) 
jener Stelle die Beziehung: 
F{x,x^,..., x„) = {x”* -f- f, a;"* “ ' + a;"* -- H k /m) e® 
Dabei bedeuten fm gewöhnliche Potenz- 
reihen von a;,, aJg, welche sämtlich für | a:,- < Oj 
absolut konvergieren und für x^-= x^ = • • • = a:„ — 0 
verschwinden; (3 (x, x^, . . x„) eine für ^x]<Cg, a;/.<Oj 
absolut konvergente gewöhnliche Potenzreihe von 
O O 
/y» /y» /y» 
4^, *^15 • • 
Durch geeignete Wahl von kann man es über- 
dies erreichen, daß für ja;,',<!^j die absoluten Beträge 
der sämtlichen Wurzeln der Gileichung 
x"' -f- a;"*-' -f k /m = 0 
unterhalb einer beliebig vorgeschriebenen positiven 
Zahl Po verbleiben. 
Beweis. Da die Funktion Fg(x) = F{x, 0, . . 0) nach 
Voraussetzung nicht identisch verschwindet, so kann man eine 
positive Größe q von der Eigenschaft bestimmen , daß F^ {x) 
für 0 < j a: I ^ p von 0 verschieden bleibt und daß zugleich 
und nichtverschwindend sei, so behält auch dann noch der Satz seine 
Gültigkeit bei, mit dem einzigen Unterschiede, daß rn dann auch negativ 
sein kann. Der Beweis stimmt mit dem des Textes überein, falls der 
Satz für den Fall einer Variablen als bekannt vorausgesetzt wird. 
