8 
3. Abhandluno’: F. Hartogs 
F{x, x^, . . x„) sicher noch regulär ist, solange ver- 
bleibt und die absoluten Beträge von x^. x.^, . . x„ eine ge- 
wisse positive Zahl nicht überschreiten. Wenn ferner eine 
zweite positive Grübe der Bedingung 0 < ^ entsprechend 
beliebig angenommen wird, so bleibt F (x, x^, . . .,a;„) im ganzen 
Gebiete 
Po<|g;|<p, (i = 1, 2, . . ., «) 
durchweg regulär und von Null verschieden, vorausgesetzt, 
dab die positive Zahl pj hinlänglich klein gewählt wird.') 
Nach § 1 gibt es daher für F {x, x^, . . .,x„) in diesem Ge- 
biete eine Darstellung von der folgenden Art: 
F(x. x^, . . ., x„) 
Dabei bezeichnet m eine (nicht negative) ganze Zahl, 
® {x, x^, . . x„) und iß ajj, . . ., gewöhnliche, im be- 
trachteten Gebiete absolut konvergierende Potenzreihen der 
angegebenen Argumente. Legt man in dieser Gleichung jeder 
der Variablen x^, x^, . . x„ den Wert 0 bei und dilferentiiert 
logarithmisch nach x, so ergibt sich: 
dF^ix) 
m d 
x'dx 
dx m , 
0) o)| 
woraus noch hervorgeht, dab m = ni und ‘iß 
(^„ < I x : < q). 
, 0, . . ., o') = 0.2) 
') Die gegenteilige Annahme würde — da in einem Gebiete, in 
welchem eine analytische Funktion mehrerer Veränderlichen regulär ist, 
jede Häufungsstelle von Nullstellen wiederum eine solche ist — un- 
mittelbar einen Widerspruch ergeben. (Die Größe gi kann auch in der 
nämlichen Weise bestimmt werden wie zu Anfang des Weierstraß- 
schen Beweises die dort ebenso bezeichnete Größe.) 
*) Leitet man auf dem von Weierstraß angegebenen Wege eine 
Beziehung von der Form 
