über den Weierstraßschen Vorbereitungssatz. 
Aus der Grleichung (1) folgt; 
(2) 
da ja 
F{x, ajj, . 
^n) . 
X \X / pi 
^n) = x'" -e^ 
’ ) I ’ ^ i ^ 1 I ^ J?i)5 
eine für 
!<i 
Pn 
Xi \ < eindeutige 
und reguläre Funktion von — , a:,, . . .,Xn bezeichnet, welche sich 
Oß 
für — = 0 auf 1 reduziert. Die Größe auf der linken Seite 
X 
dieser Gleichung nun läßt sich als eine im vollen Gebiete 
|a; < 0 , |aj,|<pj eindeutige und reguläre Funktion daselbst 
durch eine absolut konvergente gewöhnliche Potenzreihe von 
X, Xj, . . x„ darstellen. Diese letztere aber muß — da eine 
Funktion in einem und demselben Gebiete nicht auf zwei ver- 
schiedene Weisen nach steigenden und fallenden Potenzen von x 
entwickelt werden kann — mit dem auf der rechten Seite 
stehenden Ausdrucke identisch sein. Hiernach können 
rechts (nachdem die Multiplikation mit x"* ausgeführt ist) 
Potenzen von x mit negativem Exponenten überhaupt 
nicht auftreten und man erhält nun die für das ganze Ge- 
biet ic ]< p, \Xi\^ p, gültige Darstellung : 
( 3 ) 
F{X, iCj, . . Xn) 
= -h a;'»-' + f^x"^-~ -\ h /„,) 
wobei fj, f^, . . ., gewöhnliche, für |a;, |<Pj absolut kon- 
vergente Potenzreihen von x^, x,^, . . ., x^ bedeuten. 
Diese Potenzreihen verschwinden sämtlich für x, — x^ 
= • • • = aJn = 0, wie man erkennt, indem man das Wert- 
F 3x X ^ dx ^ • 
und damit die Gleichung (1) des Textes her, so wird die Anwendung 
des Laurentschen Satzes gänzlich vermieden. 
