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3. Abhandlung; F. Hartogs 
System = x.^ — • • • — Xn = ^ entweder in die Gleichung (3) 
selbst oder in die folgende Beziehung 
( 4 ) 
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x”' + f\ aj”“' + 
+ f» 
einträgt, deren linke Seite sich alsdann auf x”* * reduziert. 
Da endlich die linke und somit auch die rechte Seite der 
offenbar auch noch im größeren Gebiete | a;, | < Oj 
gültigen Gleichung (4) daselbst beständig von Null verschieden 
ist, so ist damit' auch der letzte Teil der Behauptung erwiesen. 
§ 3 . 
Beweis des Laurentschen Satzes. 
Im § 1 wird folgender Spezialfall des Laurentschen Satzes 
für Funktionen mehrerer V’eränderlichen benutzt: 
Eine für Oq < | a: [ < p, a;,- < p,- (i = 1, 2, . . ., w) ein- 
deutige und reguläre Funktion f'{x, x^, . . ., a:„) der Ver- 
änderlichen X, ajj, . . x„ kann in diesem Gebiete durch 
eine absolut konvergierende, nach ganzzahligen posi- 
tiven und negativen Potenzen von x sowie nach ganz- 
zahligen positiven Potenzen von a;,, x^. . . x„ fort- 
schreitende (n -f- l)-fache Reihe dargestellt werden. 
Der Beweis hierfür (wie auch für den Laurentschen Satz 
in seiner allgemeinsten Gestalt) kann, ähnlich wie bei den 
Funktionen einer Veränderlichen, sowohl nach der Cauchy- 
schen Methode der Randintegrale als auch nach der von Herrn 
Pringsheim angegebenen Methode der Mittelwerte geführt 
werden.^) Ein dritter Weg, welcher sich darbietet, wenn 
man den Laurentschen Satz für Funktionen einer Variablen 
als bekannt voraussetzt, soll hier noch kurz besprochen werden.*) 
*) Über die Anwendung dieser letzteren Methode siehe des Yerf. 
I.-D. (München 1903), Kap. V. 
*) Durch wiederholte Anwendung des im folgenden angegebenen 
