über (len Weierstraßschen Vorbereitungssatz. 
11 
Gienü^t der ert oc ^ der Bedin^un^ Oq <|f|< Q , SO 
ist /’(!, x^, . . x„) eine für a;,' < Qi eindeutige und reguläre 
Funktion von x^, x^, . . Xn und kann daher durch eine in 
diesem Gebiete absolut konvergierende gewöhnliche Potenzreihe 
von x^, x^, . . Xn dargestellt werden^), 
f{i, x^, . . Xn) = S (I) x'l^ x[^ . . . x;;«, 
.«1. t'2 f^n 
deren Koeffizienten »j /<„ (^) für jeden der angegebenen 
Werte von | eindeutig definiert sind. Die Funktion f,,^ {x) 
ist aber zugleich für jeden solchen W ert x = ^ regulär. Man 
kann nämlich, da die Funktion f(x,x^,.. .,x„) bei geeigneter Wahl 
der positiven Größe a im Gebiete x — ^ < o, Xi\<. Qi regulär 
ist, dieselbe dort durch eine absolut konvergente gewöhnliche 
Potenzreihe von x — x^. . . Xn darstellen und erhält, wenn 
inan diese letztere nach Potenzen von a;,, . . ., Xn ordnet: 
f {X, ajj, . . ., Xn} = ^ . . ., fin ^) 

wobei die (x — gewöhnliche Potenzreihen von x — f 
bedeuten, welche für x — ^ konvergieren. Der Vergleich 
beider Darstellungen ergibt: 
fni u„ (^) = ^,» 1 . . .. (^ — I) ( 1 a; — f j < g). 
fui /i„ (x) ist demnach in der Tat iür jedes a; = | regulär 
und kann also für p,, < a;'<!o durch eine Lau rentsche Reihe 
dargestellt werden : 
//'. .«„(^) = 
So ergibt sich: 
Verfahrens läßt sich auch der Laurentsche Satz in seiner allgemeinsten 
Gestalt beweisen. 
ü Soll dies ebenfalls erst bewiesen werden, so kann man sich dazu 
eines Schlußverfahrens bedienen, welches dem in diesem Paragraphen 
auseinandergesetzten völlig analog ist. 
