Cauchy hat im Jahre 1827 mit Hilfe der von ihm be- 
gründeten Residuenrechnuiiff eine Beweismethode für die von 
Fourier und Poisson aufgestellten Reihenentwicklungen für 
sogenannte willkürliche Funktionen angegeben, die nicht nur 
die gewöhnlichen harmonischen trigonometrischen Reihen in 
sich schließt, sondern auch den allgemeineren Fall der un- 
harmonischen, d. h. solcher trigonometrischer Reihen, bei 
welchen die Parameter Wurzeln irgend einer vorgeschriebenen 
transzendenten Gleichung sindH) Sein Beweis, der im einzelnen 
einige Irrtümer enthält, wurde von A. Harnack,^) und 
namentlich von Herrn E. Picard^) entsprechend umgestaltet; 
beide setzen dabei von der in eine Reihe zu entwickelnden 
Funktion voraus, daß sie in dem Intervall, welches betrachtet 
wird, den bekannten Dirichletschen Bedingungen genügt. 
Von Herrn Professor H. Burkhardt mündlich darauf auf- 
merksam gemacht, daß der Picardsche Beweis sich in einzelnen 
Punkten mittels der Bemerkung vereinfachen lasse , daß nach 
Herrn C. Jordan jede den Dirichletschen Bedingungen ge- 
nügende Funktion als Differenz zweier monoton wachsender 
Funktionen darstellbar ist, habe ich auf der Grundlage des 
Cauchy sehen Beweisganges einen neuen Beweis für die ganze 
Klasse von Funktionen, welche eine solche Darstellung gestatten 
Cauchy, Sur les i'csidus des fonctions exprimees par des inte- 
grales definies. Exerc. de math. 1827; Oeuvres (2), 7 (398 -430). 
Harnack, Über Cauchys zweiten Beweis für die Konvergenz 
der Fourierschen Reihen und eine damit verwandte ältere Methode von 
Poisson. (Febr. 1888.) Math. Ann. 32 (175-202). 
^) Picard, Traite d’ Analyse 11, 1893, Chap. VI, II (107 — 183); 2. ed. 
1903 (179 -195). 
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