5. Abhandlung: Ludwig Berwald 
Den Beweis hierfür will ich in zwei Schritten führen. 
Zunächst beweise ich folsreudes: 
O 
1. a) Der Ausdruck 
(3) 
^ j*g i(x {x>x„) 
•fo 
konvergiert gleichmäßig gegen den Grenzwert f{x — 0),’) wenn 
2 sich so ins Unendliche bewegt, daß sein Aroruraent t der 
Ungleichung 
--r ^ 
— p-re<T<--£ 
genügt, wo E eine beliebig klein angenommene positive Größe 
bedeutet. Ich will dafür im folgenden die abgekürzte Aus- 
drucksweise gebrauchen: Der Ausdruck (3) konvergiert für 
wachsende 2 gegen den Grenzwert f{x — 0), wenn 2 sich nicht 
gerade auf der imaginären Achse ins Unendliche bewegt, 
b) Der Ausdruck 
(4) 
2 j f(u) d u {x > Xq) 
XQ 
konvergiert für wachsende 2 gegen den Grenzwert f {x„ -f- 0), 
falls nicht gerade 2 sich auf der imaginären Achse ins Un- 
endliche bewegt.'^) 
2. Die beiden Ausdrücke (3) und (4) bleiben für jedes der 
Ungleichung 
genügende t, also auch in der Umgebung der imaginären Achse 
und auf derselben endlich. 
Falls der Punkt x eine Stetigkeitsstelle der Funktion /' ist, ist 
hierfür einfach f(x) zu schreiben. Analoges gilt weiterhin für / (J’o + 0). 
-) Dieser Teil des Beweises, der bei Picard fehlt, ist wesentlich, 
wenn man Schlüsse auf das Verhalten der unharmonischen trigonometri- 
schen Reihen an den Gültigkeitsgrenzen ziehen will. 
