Herleitung unharmonischer trigonometrischer Reihen. 
II. Durchführung des Beweises. 
1. a) Nach Voraussetzung ist: 
fip) = /i (/‘) - f-i (,«)< 
wo und ini Integrationsintervall 
Xq < ji t <C X 
monoton wachsende Funktionen sind. Dieselben können immer 
so gewählt gedacht werden, daß sie in diesem Intervalle be- 
ständig größer als Null sind. 
Dann ist: 
J'O *0 ro 
und wenn 
^ P -|- Qi 
gesetzt wird, so hat man: 
/;,(a) d/Li = J Ff^Xf'^d/i + ifQf’>-.0^)d/.i (y. = l,2). 
^0 ^0 ■‘■'0 
Da im Integrationsintervalle f>,{u) integrabel, monoton 
zunehmend und größer als Null ist, kann mau auf jedes der 
beiden reellen Integrale rechts den zweiten Mittelwertsatz der 
Integralrechnung^) in seiner einfachsten Gestalt an wenden, 
und erhält: 
(a) 
J P (ji) d ,u 
J'O 
= f>,(x — 0) J Pd/ii, 
4l. « 
^ Qfx 00 ^ fy.ix — 0) J Q d/J, , 
a'o i2- '''■ 
(y ^ 1 , 2 ) 
*) Cauchy wendet in seinem Beweise an der entsprechenden Stelle 
den ersten Mittelwertsatz der Integralrechnung an, was unzulässig ist, 
da die bei ihm unter dem Integralzeichen verbleibende Funktion inner- 
halb des Integrationsintervalles ihr Vorzeichen wechselt. Infolgedessen 
macht er über die Funktion f[it) keinerlei Voraussetzungen, während in 
Wirklichkeit die Resultate, zu denen er gelangt, nur dann gelten, wenn 
man über die Funktion /(//) beschränkende Annahmen macht. 
