Herleitung unharmonischer trigonometrischer Reihen. 
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wo sich die Summation auf der rechten Seite über alle Wurzeln A 
der Gleichung 
F{z) = 0 
in der Weise erstreckt, daß immer alle diejenigen Wurzeln 
zusammengenommen werden, deren absoluter Betrag zwischen 
zwei aufeinanderfolgenden Termen der Reihe q„, . . . 
liegt, und vorausgesetzt ist, daß diese Gleichung lauter ein- 
fache Wurzeln k hat, und die Kreise (o^) so gewählt sind, 
daß sie nicht durch die Punkte k gehen. 
Ganz analog wie dieser Satz ergibt sich auch der folgende : 
Ist: 
•ri 
(5) g- {z) = J /•(,«) du {x, > x), 
wo z, F (z), fl, f (fl) dieselbe Bedeutung besitzen, wie bisher, 
und / (z) eine ganze transzendente Funktion von z ist; und 
setzt man voi'aus, daß im allgemeinen 
C) 
D) 
Fi-z) 
ist, so gilt die Gleichung: 
lim pp. = C, 
(, = 7=F (z) 
lim - “> = C'^) 
l C7X.r + 0) - ^ ^ 0) = £ J ,l,u 
X 
(^1 > ^), 
in welcher die Summation auf der rechten Seite wieder über 
h Diese Beschränkung ist unwesentlich. Die Cauchysche Residuen- 
rechnung würde eine, obgleich nicht so einfache Darstellung auch für 
den Fall gestatten, daß F(z) u. a. auch mehrfache Nullstellen besitzt. 
Doch kommt dieser Fall bei den Problemen, die auf derartige Entwick- 
lungen führen, kaum jemals vor. 
Hier setzten gleichfalls bisher alle Autoren C' = 0 voraus. 
