Der Satz von der Entwickelbarkeit einer geeigneten Be- 
dingungen genügenden Funktion einer reellen Veränderlichen 
nach den Legendreschen Polynomen (zonalen Kugelfunktionen) 
wird gewöhnlich folgendermaßen bewiesen: zuerst wird gezeigt, 
daß er richtig ist, wenn die Veränderliche in einen der End- 
punkte des Intervalls ( — 1 • • • -f- 1) fällt, für das die Ent- 
wicklung gelten soll; daraus wird dann die Entwicklung einer 
Funktion zweier Winkel nach Kugelflächenfunktionen abge- 
leitet, und aus diesem allgemeinen Satz wird erst wieder 
durch Spezialisierung der zuerst genannte gewonnen^) Doch 
hat schon vor geraumer Zeit H. Laurent") eine BeweismetLode 
skizziert, bei der zuerst die mit einem bestimmten Glied ab- 
gebrochene Reihe durch die von ihm neu gefundene Chri- 
stofFelsche Formel summiert und dann die Frage mit Hilfe der 
Laplaceschen asymptotischen Darstellung der Kugelfunktionen 
für große Werte des Index auf die entsprechende Frage für 
trigonometrische Reihen zurückgeführt wird. Das setzt voraus, 
daß der Sinn, in dem diese Darstellung wirklich als Näherungs- 
formel angesehen werden kann, genau festgelegt und der bei 
ihrer Benutzung begangene Fehler abgeschätzt wird; was auf 
dem von Laplace selbst vorgezeichneten Weg mühsam ist*), 
auf dem von Herrn Darboux eingeschlagenen ^) aber eben die 
M Auch der Beweis bei U. Dini, Serie di Fourier, p. 278, macht 
von Sätzen Gebrauch, die wesentlich der Theorie der Kugelfunktionen 
zweier Argumente angehören. 
2) .J. de math. (3) 1, 1875, p. 394. 
*) Man vergleiche etwa die Darstellung bei Dini, Ann. di mat. (2) 7, 
1876, p. 265-271. 
J. de math. (3) 4, 1878, p. 4U. 
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