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10. Abhandlung; Heinrich Burkhardt 
allgemeine Theorie des Zusammenhangs zwischen der Größen- 
ordnung der Koeffizienten einer Potenzreihe und den auf ihrem 
Konvergenzkreis gelegenen Singularitäten voraussetzt. Auch 
hebt schon Darboux hervor, daß die Untersuchung in doppelter 
Beziehung einer Ergänzung bedarf: es muß einmal gezeigt 
werden, daß die bei Benutzung der Xäherungsformel vernach- 
lässigten Glieder den Schluß nicht stören, und ferner muß, da 
sie nicht bis an die Enden des genannten Intervalls heran 
gilt, bei ihrer Integration über das ganze Intervall für die 
Endstrecken noch eine besondere ergänzende Untersuchung 
geführt werden. Beides zusammen erfordert viel Baum und 
Sorgfalt.^) Bei dem Versuch, die Darstellung der Sache für 
Vorlesungszwecke zu vereinfachen, hat sich mir ein Beweis- 
verfahren dargeboten, das von jenen „etwas beschwerlichen 
Sätzen“^) überhaupt nicht mehr Gebrauch macht, sondern 
statt dessen nur die mit einfacheren Mitteln zu leistende Be- 
stimmung der Größenordnung der Legendreschen Polynome 
für große Werte des Index benutzt, dabei auch nicht mehr 
auf die Theorie der trigonometrischen Reihen rekurriert, son- 
dern die dort ausgebildeten Schlußweisen direkt auf die zu 
untersuchenden Reihen anwendet. Außerdem gebrauche ich 
von der Theorie der Legendreschen Polynome — um die er- 
forderlichen Formeln gleich hier zusammenzustellen — selbst- 
verständlich die Integraltheoreme 
0 für m ^ n, 
2 
— — ' für m — n 
2n -f 1 
1) Ib., p. 386—390. Die neue Darstellung desselben Beweisgangs 
bei W. Kapteyn, nieuw archief voor wiskunde (2) 8. 1907, p. 26, ist in 
diesen beiden Beziehungen unvollständig. — Die auf den Cauchyschen 
Residuensätzen und die auf der Theorie der Integralgleichungen be- 
ruhenden Beweise fallen auch nicht einfacher aus, wenn der Satz in 
demselben Umfange bewiesen werden soll. 
*) C. Keumann. Über die nach Kreis-, Kugel- und Zylinderfunktionen 
fortschreitenden Entwicklungen, p. VII. 
