8 
10. Abhandlung: Heinrich Burkhardt 
an, so erhält man unter dem Integralzeichen außer den in lü) 
auftretenden noch einen Faktor: 
(o; -j- i cos cpY — 1, 
der durch die Substitutionen 11) in 
„ 2 (£ 2 _ 2 | 2 _^ 2 _|. ^ 2^2 ^- 4 ) 
übergeht. Dabei ist der absolute Betrag der Klammer höch- 
stens gleich 1^, der von ist \ — x~\ es ergibt sich also: 
101-^2 
P„ + 2(x)-P..(:r)|<^. 14) 
y n 71 
Das AVesentliche an diesen Resultaten für uns ist, daß die 
Funktion 
Vn ‘ P„ 4-2 (a:) — P„ (a;) | 
im ganzen Intervall ( — 1 • • • -|- 1), einschließlich der Grenzen, 
die Funktionen 
I n 
aber wenigstens in jedem Teilintervall, das ganz im Innern 
dieses Intervalls liegt, unterhalb einer von n und x unab- 
hängigen endlichen Gi-enze bleiben. 
§ 2. Beweis der Entwickelbarkeit einer Funktion von 
beschränkter Schwankung nach den Legen dreschen 
Polynomen. 
Nach dieser A^orhereitung gliedert sich nun der eigentliche 
Beweis folgendermaßen : 
I. Aus der Definition der Funktion A„{x, //) ergibt sich 
unter Zuhilfenahme von 4) und 7): 
/j„ (:r, ,n) da = ^ 1\ {x) (P, (:i:)+ l)+i P, {x){F, {x) - P, {x)) 
15 ) 
+ . . . -h ^ P„ (o:) (P„ -t - 1 (o;) - P„ -fix)) = i + 4 P« ix)P „ + , (x). 
