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10. Abhandlung: Heinrich Burkhardt 
VII. Das Integral 
X 
J / (,'<) - (^, /O 
-1 
kann geschrieben werden, wenn die Funktion /' an der Stelle x 
links stetig ist: 
J /■(,«) An {x, fl) d fl -F f{x — 0) J A„ {x, fl) dfi 
— I * — £ 
+/ (/"OO — f{x — 0)) A„{x, ft) d fl. 
X — £ 
Wird auf den letzten Bestandteil wieder der zweite Mittel- 
wertsatz angewendet, so geht er über in: 
(f(x-,) -fix - 0))jA„ix,fi)df,, 
X—£ 
wo c einen Wert zwischen x — e und x bedeutet. Man kann 
dann wegen der vorausgesetzten Stetigkeit und Avegen des 
Satzes V das s so klein wählen, daß dieser letzte Bestandteil 
unterhalb einer beliebig vorgegebenen Grenze fällt und auch 
unter ihr bleibt, wenn nachher n vergrößert wird; und dann 
kann man n noch so groß wählen, daß der erste Bestandteil 
nach VI beliebig klein wird und das Integral im zweiten Be- 
standteil beliebig wenig von seiner unter III angegebenen 
Grenze abweicht. So ergibt sich: 
n • 
lim f f(fi) An (x, fl) d fl =\fix- 0), 22) 
n = X — I 
und zwar gleichmäßig in jedem Intervall, das ganz dem Innern 
von ( — 1 • • • -F 1) angehört und in dem die Funktion fix) 
stetig ist. 
VIII. Ebenso ergibt sich, wenn f ix) an der betrachteten 
Stelle X rechtseitig stetig ist: 
lim J f ifi) Au ix, fl) d fl = \ f ix “F 0). 
>1 = CX3 X 
23 ) 
