Zur Theorie der Reihen. 
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IX. Beide Foi’meln zusammen geben das zu beweisende 
Resultat: Ist die Funktion f{x) im Intervall ( — 1 • • • -j- 1) 
von beschränkter Schwankung, .so konvergiert die Reihe 
» 2 w -I- 1 "t- ' 
n = 0 - 1 
an jeder Stelle, an der f'{x) stetig oder höchstens von der 
ersten Art unstetig ist, gegen: 
H/'(^ + 0)+/’(^-0)}. 24) 
Auch ergibt sich aus dem Beweis die Gleichmäßigkeit 
dieser Konvergenz tür jedes Stetigkeitsintervall der Funktion 
f{x), das ganz dem Innern von ( — 1 • • • -f“ 1) angehört. 
Soll auch bewiesen werden, daß die Reihe für x = \ 
gegen f {x — 0) konvergiert, so bedarf die Schlußweise nur 
der Modifikation, daß an Stelle der Christoffelschen Formel die 
auch sonst für diesen Fall benutzte Formel 
O Yi -4— 1 
-^oC") + = ^«+i(/0) 25) 
herangezogen wird. Dagegen scheint auf diesem Wege nicht 
bewiesen werden zu können, daß auch die Gleichmäßigkeit der 
Konvergenz für ein Stetigkeitsintervall statthat, das bis an 
diesen Punkt heranreicht. Entsprechendes gilt für x = — 1. 
Will man den Beweis zunächst nur füi’ stetige Funktionen 
führen, so kann man an Stelle der Gleichung 16) die noch 
einfachere 
+ 1 
^ An{x^ fx)d f .1 — 1 (für jedes n) 26) 
— I 
benutzen. In der Tat besagt die Benutzung der Gleichung 16) 
nichts anderes, als daß zunächst für eine spezielle unstetige 
Funktion, nämlich die durch 
/■(/O - 
1 für X < u 
0 für x'> [x 
27) 
definierte, das Verhalten ihrer Reihenentwicklung an der 
Sprungstelle untersucht wird. 
