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10. Abhandlung: Heinrich Hurkhardt 
§ 3. Zur Theorie der trigonometrischen Keihen. 
Die im vorhergehenden entwickelten Schlußweisen erlauhen 
nun auch, den Beweis für die Entwickelbarkeit einer Funktion 
beschränkter Schwankung in eine harmonische trigonometrische 
(sog. Fouriersche) Reihe in einem Punkte zu vereinfachen. 
Abgesehen von dem ersten ziemlich mühsamen Dirichletschen 
Beweise wird nämlich bei denjenigen Beweisanordnuugen, die 
die Heranziehung der Potentialtheorie oder der Theorie der ana- 
lytischen Funktionen komplexen Arguments vermeiden, immer 
das Integral 
X 
J * sin xdx 
X 
u 
benutzt, das doch dieser Theorie eigentlich fremd ist, vielmehr 
der Theorie der Fourierschen Integx'ale angehört. Sieht man 
genauer zu, so findet man, daß dieses Integral nur deswegen 
eingeführt wird, um für die hier die Stelle der Funktion 
vertretende Funktion 
11 ” 1 
+ - L C.0s{vx-i\u) = - 
;i7l 7T , S 71 
. 2 /I -p 1 , , 
sin ^ (x — fl) 
sin^(a: — <0 
28) 
den Beweis zu fuhren, daß das Integral 
J An{x, u)d u 29) 
a 
immer unterhalb einer von a, b, x, n unabhängigen endlichen 
Grenze bleibt, wie auch die Werte a. b, x im Intervall ( — ti 
• • • -j- ^) gewählt werden mögen. Das aber kann mit Hilfe 
der in § 2 unter IV angegebenen Zerlegung auch hier an dem 
Integral 29) selbst direkt gezeigt werden ; man muß dabei nur 
die für die in Betracht kommenden Werte gültige Dopiiel- 
unwleichung a; cos a: < sin :r < a: beachten. 
O O 
Dabei hat man noch den Vorteil, daß man auch Reihen, 
die nur Ko.sinus- oder nur Sinusglieder enthalten, direkt be- 
handeln kann, was bisher, abgesehen von einer Andeutung bei 
