Zur Theorie der Reihen. 
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(P^) — § COS 
(p 
Yl — x^)" sin-*"“ ‘ 
(pd(p, 36) 
wobei r eine beliebige komplexe Größe mit positivem reellen 
Bestandteil bedeuten kann. Sie erlaubt in der Tat, alle er- 
forderlichen Eigenschaften dieser Funktionen rasch abzuleiten. 
Zunächst gibt die Jacobische Substitution: 
iyi — x^ — xcosw . sin w 
cos rp = — , sin cp = , 
% \ \ —x^ cos yj — X X — iy 1 — x^ cos y> 
X i cos cpy\ — x'^ — — — 37) 
X — iy 1 — x^ cos ip ’ 
dcp = 
d rp 
— 
X‘‘ cos yj 
die zweite Darstellung: 
Än(x) = ^ (x — i cos yj y 1 -—x^)~”~^'’ sin^’'“^ yj dyj; 
0 
der Integrationsweg ist dabei zunächst ein Kreisbogen in der 
Ebene der komplexen Variabein cos ip, kann aber ohne Über- 
schreitung eines singulären Punktes in die gerade Yerbindungs- 
strecke der Punkte y> — 0, y) = n verlegt werden. Die erste 
Darstellung gibt durch Differentiation: 
{I — x^) A» = n{An-\ — xA,), 38) 
die zweite: 
(1 —x^)An = (n + 2v)(xAn — A„^y); 39) 
Elimination von A‘„ aus den beiden so erhaltenen Gleichungen 
die Rekursionsformel zwischen drei aufeinander folgenden A^): 
2{n v)xAn == (» + 2vA„ + i -f nA„^i). 40) 
Wird diese Gleichung mit derjenigen kombiniert, die aus 
0 N. Nielsen geht von den Gleichungen 38) und 40), aus denen 39) 
folgt, aus: Ann. di mat. (3) 14. 1908, p. 69; Ann. ec. norm. (3) 25, 1908, 
p. 373. Er stellt eine zusammenhängende Darstellung der Theorie dieser 
Funktionen in Aussicht. 
Sitzungsb d. math.-phys. Kl. Jabrg. 1909, 10. Abli. “ 
