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10. Abhandlung': Heinrich Burkhardt 
ihr hervorgeht, wenn man x durch ein anderes Argument 
ersetzt, so erhält man 
2 {n -f r) {x — n) A,, (a;) A„ (/i) = (w + 2 r) (A„ + , (jj) A„ (,a) 
.4,, (a?) (,o)) V) (Am (xJ A,, — ] (/O A« _] (x) Am (/O) 
und daraus durch Summation*): 
", r(nA-‘’r) 
i: 2 (n + v) -^-7-^ Am (X) Am Cu) 
n=0 ^ -t 4]^ 
^ r(w + 2 >’ + 1) Am 4 1 (a;) A„ (,u) — A» (x) A » + 1 (ju) 
A 1) X — fl 
Wird ferner in der Gleichung 38) n durch w + 1 ersetzt 
und die so erhaltene Gleichung mit 39) kombiniert, so kommen 
die beiden Gleichungen: 
(n A 1) (w A 2 r) A„ == (w A 2 »O-^n + i — (w + l)a: A,',, 42) 
(n A 1) (w + 2 )') A„ 4 -i = (n A 2 >') X A;,^] — (» A 1) 43) 
und wenn in der letzten n durch n — 1 ersetzt und dann A,', 
eliminiert wird, als Verallgemeinerung von 4): 
r < j w A 2 V . 
J Am (i X . I 1 \ / I \ Ah +1 
2 (w Al) (« + *’) 
o 
— öT — i — ö TTT — ^ — \ -^M— I -|- Const. 
2 A 2 j’ — l){n V) 
Endlich ergibt sich durch abermalige Differentiation von 
39), unter Benutzung von 42) die Differentialgleichung 
(1 — x^) A" — (1 A 2 J-) X Am r) A„ = 0 45) 
oder 
(1 { 2v + l ^ J I 2v- I 
- x^Y^ A » {n A 2 v) (1 - X**)— Am = 0 
und aus ihr die Integraltheoreme 
*) G. Darboux, J. de math. (3) 4, 1878, p. 381 ; J. Deruyts, Brux. 
nieni. cour. in 4®, 47, 1886, p. 17. 
