Zur Theorie der Reihen. 
in 
+ 1 
n {n -f- 2 r) J* (1 — x^) - A„ (x) dx — 0 
46) 
und : 
■ir- I 
ln(n^2t’) — m(m-l-27’)]J(l—x^) A,„(x)A„(x)dx — 0. 47) 
Damit sind nun aber alle Vorbereitungen erledigt; die Ab- 
schätzung der Größe des A für große Werte von n kann wie 
in § 2 geschehen, indem der Faktor sin -’'“' 95 auf sie gar 
keinen Einfluß hat, die Formel 44) dient zu demselben Zwecke 
wie 4), und 41) unter der Bedingung 91)’ < 4 demselben 
wie 2 ), da bekanntlich^) für große n 
r(n + 2 )’ -i- 1 ) 
r(n -i- 1 ) 
48) 
ist. Damit läßt sich unter den angeführten Eijischränknngen 
für V und unter denselben Annahmen für f'(x) wie in § 2 die 
Gültigkeit der Entwicklungsformel 
+1 2v-l +I 2 v- l 
fix)—^ j*(l— - f(x) A„(x)dx: f (1 — x^) - A,‘(x)dx 49) 
n=0 -I -1 
in der Tat beweisen. 
Man kann aber auch negative Werte der ganzen Zahl n 
in Betracht ziehen. Wenn v wie in § 2 gleich | ist, so erhält 
man auf diesem Wege nichts Neues; andernfalls aber erhält 
man an Stelle von 41) die folgende Formel: 
2 (« - >') W ^ ■ W 
^ ^ 50 ) 
_ r(n-2v) A, „ (x) A-n (u) — A-,, (x) , (//) _ ^ 
r {n -\A) X — u 
Damit hat man die zweite Entwicklungsformel: 
33 + 1 2 v—l +1 
/'(x) = U f(l—x-) 2 f(x)A^„(x)dx:f(l 
n=0 -l —1 
2r-I 
x^) AL„{x)dx, 51) 
'*) Die Formel steht nicht in allen Lehrbüchern der Integralrechnung, 
findet sich aber z. B. bei Boussines»!, Cours II, 2, p. 141. 
