Es handelt sich hier um einen wohlbekannten und funda- 
mentalen Satz der Theorie der analytischen Funktionen, den 
man folgendermaßen aussprechen kann: 
Ist F{x,x^,x^, ... x,^) eine in der Umgebung der 
Stelle a: — a;, =a ;2 = ...a;„ = 0konvergente’^) gewönliche 
Potenzreihe von x, x^, x^, . . . Xn und verschwindet die 
Funktion F{x, 0, 0, ... 0) von x für x — 0 von der w*®" 
Ordnung, m>l, so gilt für eine gewisse Umgebung 
der betrachteten Stelle x = Xy = x^ — Xn = 0 die 
Beziehung: 
F{x, x^, a;. 3 , . . . x„) 
= {x”' 4- /j a:’“-' +•••+/’„.)• ^ {x, x^,x^,... Xn). 
Dabei bedeuten: 
/r U ■ ■ ■ f>n gewöhnliche Potenzreiheu von a;,, x^, 
. . . Xn, welche an der Stelle x^ = x^— • • • = a:„ = 0 ver- 
schwinden und in deren Umgebung konvergieren; 
^{x, ajj, x^, . . . x„) eine in der Umgebung der Stelle 
X = x^ = X .2 — • ■ • = Xn — 0 konvergente und an dieser 
Stelle selbst von Null verschiedene gewöhnliche Po- 
len zreihe von X, x^, x^, . . . Xn. 
Die Zerlegung (1) ist eine völlig bestimmte. 
Dieser Satz, den Weierstraß schon 1860 in seinen Vor- 
lesungen gegeben hat, läßt sich verschiedenartig und in ein- 
1) Eine Potenzreihe soll in der Umgebung einer Stelle konvergent 
heißen, wenn sich positive Zahlen q, r,, »g, . . . so bestimmen lassen, daß 
die Reihe für \x <C.q, I a:,- ' ■< r- konvergiert. Die Reihe konvergiert 
dann absolut und es können ihre Glieder beliebig angeordnet werden. 
