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18. Abhandlung: G. Dumas 
faclier Weise beweisen. Die folgende Überlegung hat den 
Vorzug, frei von jeder transzendenten Betrachtung zu sein; 
auch gibt sie ein Mittel, beliebig viele Glieder der Potenz- 
reihen der rechten Seite von (1) unmittelbar zu berechnen.^) 
§ 1 - 
Wir zeigen zunächst, wie man formal zu der Zerlegung (1) 
gelangen kann. Wir setzen; 
F{x, x„) ^F[x : Xi) = x”' (p{x}Fl^ 4«. .«i. • • • , 
h, /M. /<2, .../«„ = 0, 1, 2,3, 
(/<1 + M + • • • + — ' ' 
WO die 4“, numerische Koeffizienten bedeuten und <p(x) 
eine gewöhnliche Potenzreihe von x darstellt. 
Da nach Voraussetzung 0) von der w*®" (m >1) Ord- 
nung Null wird, so beginnt w{x) mit einem von Null ver- 
schiedenen Gliede. Man kann also die Funktion — ^ in eine 
(p{x) 
gewöhnliche Potenzreihe (p^ (x) entwickeln. Multipliziert man 
die Funktion F(x\Xi) mit (p^(x), so bekommt man; 
(f, {x) F {x I X,) = aj'" ■ 1 4-1; M;, ^ ^ . . . a:“« . 
/*, /O. /<2. • • • l“« = 0, I, 2 
C“l + .'<2 + • • • 4- .“n — 
Wir beweisen die Richtigkeit des Satzes für die einfachere 
O 
Funktion F{x |a;,). Der Übergang von der Funktion F zur Funk- 
Bezüglich der klassischen Beweise dieses Satzes vergleiche man 
die Bemerkungen des Herrn Gonrsat in seiner Abhandlung „Demon- 
stration elementaire d’un theoreme de Weierstrass“ (Bull. Soc 
math. 36 (1908), p. 209—215). 
Von dem Hauptsatze über implizite Funktionen, den Herrn Goursat 
in seinem eigenen Beweise benützt (p. 213 der zitierten Abhandlung), 
wird hier kein Gebrauch gemacht. Siehe auch: Hartogs, „Über die 
elementare Herleitung des Weierstraßsche n Vorbereitungs- 
satzes“ (^lünchen, Ber. 39 (1909), 3. Abhandlung), nebst Bemerkung vom 
3. Juli 1909, wo sich verschiedene Literaturangaben finden; Stickelberger 
„Über einen Satz des Herrn Noether“ (Math. Ann. 30 (1887), 
p. 403); Pellet, „Des equations majorantes“ (Bull. Soc. math. 37 
(1909), p. 97). 
