über Kurvenpaare im Raume. 
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s in o g Sin q, ^ ^ 
r rj 
Aus 0 = 0 folgt daher auch o, = 0 : Man hat also ein 
Kurvenpaar mit gemeinsamer Hauptnormale, die Kurven bilden 
ein Bertrandsches Paar. Dies ist im wesentlichen der von 
Niewenglowski, Comptes Rendus 85, p. 394, 1877 aufge- 
stellte Satz.^) 
0 Ich erwähne dies, weil in der Enzyklopädie der Math., Bd. III, 
3, p. 232 dieser Satz in der folgenden Form ausgesprochen ist: 
Trägt man auf den Hauptnormalen einer Kurve ü eine konstante 
Strecke k ab und hat die Kurve Ci der Endpunkte die Eigenschaft, daß 
die Schmiegungsebenen von ü und Cj einen konstanten Winkel mit- 
einander bilden, so sind beide Kurven Bertrandsche Kurven. 
Hier ist statt des Wortes ,Sehmiegungsebenen‘ Kormalebenen ein- 
zusetzen. Daß der Satz in der anderen Fassung unrichtig ist, läßt sich 
leicht an einem merkwürdigen Beispiel zeigen — man vergleiche übrigens 
die allgemeine Untersuchung in § 12. 
Trägt man auf den Hauptnormalen einer Kurve C, deren Krüm- 
mungs- und Torsionsmasse mit q, t bezeichnet sein mögen, eine kon- 
stante Strecke k ab, so ist, wie man aus den Formeln des § 1 oder 
durch direkte Rechnung ableitet, der Cosinus der Binormalen von C und Cj 
cos (hbi) = (1 — Jco) V 
wo 
V = ß { 1 — ko) — /.' t2 
ist, während 
S* 
-- = F2 -f Ü2SZ 
,.2 
wird, falls zur Abkürzung 
ß = arctg 
ds ° 
kr \ 
1 — kg) 
gesetzt ist. Ist demnach für die Kurve C die Bedingung F = 0 erfüllt, 
so bilden die Binormalen von C und C, beständig einen rechten Winkel 
miteinander, d. h. die Binonnale von C, ist der Hauptnoi'male von C 
parallel. Und so ergibt sich : Trägt man auf den Hauptnormalen der 
Kurven C, deren Gleichung g = k (o^ t^) ist, eine konstante Strecke k 
ab, so beschreiben die Endpunkte derselben eine Kurve C'j, deren Bi- 
normale der Hauptnormale von C parallel ist, und deren Krümmungs- 
halbmesser 
S 
~ |ß; 
SitzuDgsb d. math.-phys. Kl. Jabrg. 1909, 19.Äb)i. 
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