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L. Berwald 
Für die nicht-isotropen Kugeln und Ebenen, deren 
sämtliche Normalen durch einen (eigentlichen bzw. uneigent- 
lichen) Punkt gehen, sowie für die unebenen Minimal- 
zylinder, die abwickelbare Flächen^) sind, ist der Satz evi- 
dent. Er bedarf also nur für die Mongeschen Flächen 
eines Beweises. 
Betrachten wir die Kongruenz ((v)) der Normalen v einer 
solchen Fläche. Für eine beliebige Normale v ist diejenige 
Minimalebene ?«, die durch sie und die ihren Fußpunkt ent- 
haltende Minimalgerade /t gelegt ist, die eine ihrer Brenn- 
ebenen, weil nach Nr. 2 alle Flächennormalen längs jx in m 
liegen. Da die Kongruenz ((v)) eine Normalenkongruenz ist, 
so müssen die beiden Brennebenen einer beliebig gew'ählten 
Normalen v aufeinander senkrecht stehen. Nun schneiden alle 
Ebenen, die zu einer Minimalebene m senkrecht stehen, und 
von ihr verschieden sind, m längs einer ihrer Minimalgeraden; 
da V keine Minimalgerade ist, so muß also die zweite Brenn- 
ebene der Normalen v mit der ersten Brennebene, der Mini- 
malebene m, zusammenfallen. 
Die Kongruenz ((v)) der Normalen v besitzt daher bloß oo^ 
Brennebenen, nämlich die Miuimalebenen m durch die Minimal- 
geraden /t der Schar {fx). Liegen aber die Geraden einer Kon- 
gruenz in den Ebenen e einer einfach unendlichen Schar (e), so 
fallen ihre Brennebenen dann und nur dann zusammen, wenn 
alle diejenigen Geraden der Kongruenz, die in einer und der- 
selben Ebene e liegen, durch einen Punkt der Schnittlinie 
dieser Ebene mit der benachbarten Ebene der Schar (e) gehen ^). 
Damit ist der obige Satz bewiesen. 
') Unter einer abwickelbaren Fläche verstehen wir eine krumme, 
in jede (nicht-isotrope) Ebene ohne Dehnung verbiegbare Fläche, mit 
anderen Worten jede Enveloppe von oo^, kein Büschel bildenden, nicht- 
isotropen Ebenen. 
Die Definitionen der Brennpunkte und Brennebenen einer Kon- 
gruenz von Geraden sind projektivisch und zueinander dual ; also ist 
dieser Satz, als das duale Gegenstück eines von Herrn Darboux (Le 90 ns 
sur la theorie generale des surfaces II, No. 321, p. 15) bewiesenen Satzes, 
richtig. 
