über die Flächen mit einer einzigen Schar etc. 
155 
4. An den zuletzt bewiesenen Satz schlielien sich einige 
weitei-e an, die zum Teile unmittelbar aus ihm folgen: 
(1) Auf den unebenen Minimalzylindern und auf 
den Mongeschen Flächen fallen die beiden Scharen 
von Krümmungslinien in die Schar (ju) von Minimal- 
geraden der Fläche zusammen. Diese Eigenschaft 
kommt unter allen nicht-isotropen Flächen nur den 
genannten Flächen zu. 
Der erste Teil dieses Satzes folgt aus Nr. 3. Einer freund- 
lichen Mitteilung des Herrn Engel verdanke ich den folgenden 
ihm von Lie angegebenen geometrischen Beweis des zweiten 
Teiles: 
Fallen auf einer (notwendigerweise unebenen) nicht-iso- 
tropen Fläche in jedem Punkte die beiden Hauptkrümmungs- 
richtungen zusammen, so muß, da die Hauptkrümmungsrich- 
tungen eines Flächenpunktes sowohl zu seinen Haupttangen- 
tenrichtungen als auch zu seinen Minimalrichtungen konjugiert 
sind, notwendig eine Haupttangentenrichtung und eine Mini- 
malrichtung mit der einzigen Hauptkrümmungsrichtung zu- 
sammenfallen. Die eine (und nur die eine) Schar von Mini- 
malkurven der Fläche besteht daher aus Haupttangentenkurven 
und infolgedessen aus geraden Linien. 
Auf einem ganz ähnlichen Gedankengange beruht der von 
Raffy^) gegebene geometrische Beweis desselben Satzes. 
(2) In jedem Punkte einer nicht-isotropen Fläche 
mit einer Schar von Minimalgeraden sind die beiden 
Hauptkrümmungsradien gleich lang und gleich ge- 
richtet, d. h. es fallen die beiden Hauptkrümmungs- 
mittelpunkte jedes Punktes der Fläche zusammen. 
Diese Eigenschaft kommt unter allen nicht-isotropen 
Flächen nur den genannten Flächen zu. 
Der erste Teil des Satzes folgt wieder aus Nr. 3. Der 
') Siehe [Einl. 19)], p. 154 f., wo der Beweis allerdings nur für die 
Mongeschen Flächen gegeben wird; doch ist er leicht auf die unebenen 
Minimalzylinder zu übertragen. 
