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L. Berwald 
zweite Teil, für den schon Monge^) einen allerdings nicht 
mehr genügenden, geometrischen Beweis gegeben hatte, läßt 
sich folgendermaßen beweisen: 
Hat eine nicht-isotrope Gerade, die einer Kongruenz an- 
gehört, zwei voneinander verschiedene Brennpunkte, dann hat 
sie auch zwei voneinander verschiedene Brennebenen, und um- 
gekehrt. Ein Zusammenfallen der Brennpunkte zieht also ent- 
weder ein Unbestimmtwerden der Brennebenen (so daß jede 
Ebene durch die Gerade Brennebene ist), oder ihr Zusammen- 
fallen nach sich. 
Für jede Gerade der Kongruenz tritt Unbestimmtheit der 
Brennebenen nur bei den eigentlichen und uneigentlichen Ge- 
radenbündeln ein. Fallen dagegen für jede Gerade einer Kon- 
gruenz beide Brennebenen zusammen, so besteht die Kongruenz 
entweder : 
1) aus der einen Schar von Haupttangenten einer nicht- 
abwickelbaren nicht-isotropen Fläche 5^), oder 
2) aus 00 2 Geraden, die eine eigentliche oder uneigentliche 
(gerade oder krumme) Linie X schneiden und so angeordnet 
sind, daß alle diejenigen Geraden, die durch einen Punkt P 
von X gehen, in einer Ebene e durch die Tangente von X in 
P liegen^). 
Sieht man von dem in 2) enthaltenen trivialen Falle aller 
in einer Ebene gelegenen Geraden ab , so sind im ersten 
Falle die oo^ Tangentialebenen der Fläche 5, im zweiten die 
00 ^ Ebenen e die Brennebenen der Kongruenzgeraden. 
Soll eine Kongruenz, in der die Brennebenen jeder Ge- 
raden zusammenfallen, aus den Normalen einer Fläche f be- 
stehen*), so ist dazu notwendig und hinreichend, daß die Brenn- 
ebenen jeder Kongruenzgeraden auf sich selbst senkrecht stehen, 
d. h. Minimalebenen sind. Der Fall 1) ist dann, da b eine 
1) Siehe [Einl. 1) ], p. 208. 
2) Vgl. G. Darboux, a. a. 0., Nr. 320 f., p. 13 fF., wo allerdings 
der Grenzfall einer uneigentlichen Brennkurve außer Acht gelassen ist. 
2) Hierdurch werden die isotropen Flächen, die nur ooi Normalen 
haben, von der Betrachtung ausgeschlossen. 
