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L. Berwald 
Dagegen könnte noch, falls f eine Mongesche Fläche oder 
eine nicht-isotrope Kugel ist, /*, eine unebene isotrope Fläche i 
sein, nämlich die Enveloppe der Minimalebenen m. Da sich 
aber, nach Nr. 3 und Nr. 4 (3), bei einer Kugel und bei 
einer Mongeschen Fläche (mindestens) je oc^ Flächennormalen 
in einem und demselben Punkte K der isotropen Fläche i 
schneiden, so ist auch dieser Fall unmöglich, und an seine 
Stelle treten die Ausnahmefälle a) und b). 
6. Von hier ab beschäftigen wir uns ausschließlich mit 
den Mongeschen Flächen. Zunächst leiten wür den Zusammen- 
hang ab, der zwischen der Kurve der Hauptkrümmungsmittel- 
punkte oder der Zentrakurve einer Mongeschen Fläche und 
dem Krümmungsmaße der Fläche besteht. 
(1) Wir setzen erstens voraus, daß die Zentrakurve einer 
Mongeschen Fläche f eine krumme Minimallinie sei. Ist 
dann K ein Punkt von x, und m die Schmiegungsebene von x 
in K, so schneidet [Nr. 3 und Nr. 4 (3)] m die Fläche f in 
einer Minimalgeraden der auf f gelegenen Minimalgeraden- 
schar (/<). Zieht man nun nach einem beliebigen analytischen 
Gesetz durch jeden Punkt K von x in der zugehörigen Schmie- 
gungsebene m eine nicht-isotrope gerade Linie»', so ist [Nr. 1 (1)] 
X eine orthogonale Trajektorie der Geradenschar (»'). Die Ge- 
rade V schneidet die Fläche f in einem Punkte F von fi, und 
da V durch K geht und in m liegt, so ist v Normale von f 
in F. Beschreibt v die Schar (»■), so beschreibt F demnach 
ebenfalls eine orthogonale Trajektorie cp der Schar (v). 
Da nach einem bekannten Satze zwei orthogonale Trajek- 
torien einer Schar von oc' nicht-isotropen Geraden, wüe sie hier 
vorliegt, auf allen Geraden der Schar dieselbe Strecke ab- 
schneiden, so bleibt FK = R konstant, wenn v die Schar (v) 
beschreibt. Zieht man noch die Willkürlichkeit des (v) definie- 
renden Gesetzes in Beti-acht und beachtet, daß auch für zwei 
verschiedene Normalen v und r' durch einen und denselben 
Punkt K [nach Nr. 3 und Nr. 1 (7)] li konstant bleibt, so folgt 
der Satz: 
