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L. lierwald 
fast unmittelbar, dafs u eine algebraische Funktion von x, y ist. 
Die linke Seite dieser Formel läßt sich nämlich berechnen, da 
sie sich auf eine Ortsveränderung längs einer Minimalkurve 
der Fläche bezieht; bezeichnen p und g die ersten partiellen 
Ableitungen von s nach x und y, so bestimmen die Gleichungen 
dz — pdx + qdy, dx^ -f" dy“ -j- dz^ = 0 
zwei verschiedene Wertsysteme 
öx, dy, dz bzw. ö'x, d'y, d'z 
für dx, dy, dz. Man hat dann entweder 
öx-\-idii , d‘x-\-id‘y 
— ti — ^ ^ , oder — u = ^ — , 
oz oz 
wo rechts in jedem Falle eine algebraische Funktion von x 
und y steht. Anderseits ist nach Voraussetzung auch das 
Krümmungsmaß K der Fläche, also auch eine algebraische 
Funktion von x, y; da nun aber bei den Mongeschen Flächen 
Funktion ± R{jn) von u allein ist, so folgt aus 
beiden Bemerkungen, daß auch eine algebraische Funktion 
von u ist. 
Aus den Gleichungen (II a) leitet man ferner die Identität 
1 + m' 
^ — y iu2 = i{u) 
ab, aus welcher durch genau die gleiche Schluß weise folgt, 
daß f{H) ebenfalls eine algebraische Funktion von u sein muß. 
Damit ist der Beweis des obigen Satzes geführt. Zusammen 
mit dem Satze [Nr. 8 1)] löst dieser Satz die Aufgabe der 
Bestimmung aller algebraischen Mongeschen Flächen 
vollständig. Wir werden weiter unten noch eine fundamentale 
geometrische Eigenschaft dieser algebraischen Flächen 
kennen lernen. 
Dieser Schluß bei G. Darboux, Theorie generale des surfaces I. 
Paris (1887), p. 290 f. 
