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L. Berwald 
meters u durch die Relation (a) verknüpft, also eine algebraische 
Funktion von u ist. Nach dem Satze Nr. 8 1) [bzw. dem ent- 
sprechenden in Nr. 9] ist also f eine algebraische Fläche; 
w. z. b. w. 
11. In anderer Hinsicht sind die drei Gleichungen Nr. 9 
(9) für die Kurventheorie, sowie für die Theorie der Monge- 
schen Flächen von Interesse. Man kann sie in die Form 
(1) = | — is'*', y = rj — is‘r}\ 2 = C — is'C‘ 
umschreiben ; dabei bedeuten C die Koordinaten der Punkte 
einer krummen Minimallinie A in Funktion eines natürlichen 
Parameters p, s eine im übrigen willkürliche (analytische) Funk- 
tion von p, die mit rj, C ein gemeinsames Existenzbereich 
hat; und die Indizes bezeichnen die Differentiation nach p. 
Die Formeln (1) stellen, wenn s keine Konstante ist, eine 
nicht-isotrope (krumme) Linie y. dar, die auf der Tangenten- 
fläche i der Minimallinie ?. liegt. Es fragt sich zunächst, welche 
krummen Linien überhaupt durch die Gleichungen (1) dar- 
stellbar sind. 
Sei L ein Punkt von A, K der entsprechende von y ; dann 
liegt die Tangente v von y in K in der Schmiegungsebene l 
von A in L. Umgekehrt ist die Ebene l eine der beiden iso- 
tropen Ebenen durch die Tangente v von y in K, und die 
Tangentenfläche der Minimalkurve A erscheint also als die En- 
veloppe einer der beiden isotropen Ebenen durch jede Tangente 
der Kurve y. Die Tangente i von A in L ist eine isotrope 
Gerade der Minimalebene Z, die auch j' enthält, und steht also 
nach Nr. 1 (1) zu v senkrecht. Die Minimalkurve A ist dem- 
nach eine der beiden Minimalevoluten der krummen Linie x, 
und L ist, nach einer von Herrn Study^) eingeführten Be- 
zeichnung, der Scheitel des Punktes K von y. 
Nehmen wir noch den bisher ausgenommenen Fall hinzu, 
daß y mit A zusammenfällt, also eine Minimallinie ist, so folgt: 
A. C.; die dort gemachten Ausführungen bilden die Gnindlage 
des Folgenden. 
