über die Elächen mit einer einzigen Schar etc. 
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Die Formeln (1) gestatten die Darstellung aller der- 
jenigen krummen Linien h, für welche mindestens der eine 
der beiden Orte der Scheitelpunkte eine nicht degenerierte 
krumme Minimallinie ist, d. h. aller krummen Linien mit 
Ausnahme der regulären und singulären Kreise^). Die 
Funktion s bedeutet dabei die (bei Minimalkurven konstante) 
Bogenlänge der krummen Linie x. 
Ist s veränderlich und besteht nicht die Bedingung: 
(2) 1 _ 4 i s" - 3 -h 2 s's'" + s'2 = 0 , 
in der J die Invariante (3 |3)p der krummen Minimallinie A 
bedeutet, so stellen die Formeln (1) eine reguläre Kurve x 
dar. Seien 
1 (x'x"\x'x") 1 {x'x'‘x“‘) 
{x'\x'y Q {x'x“ \ x‘x") 
bzw. das Quadrat der Krümmung und die Torsion der Kurve x 
im Punkte K, der zum Werte s{p) der Bogenlänge gehört. 
Dann gilt der Satz: 
Die charakteristischen Invarianten®) (P — . und 
W = — jeder regulären Kurve, mit Ausnahme der 
regulären Kreise, lassen sich durch die charakteri- 
stische Invariante J einer krummen Minimallinie und 
ihre Ableitung nach einem natürlichen Parameter 
dieser Minimallinie, sowie durch die Ableitungen der 
Bogenlänge der Kurve selbst nach diesem natürlichen 
Parameter ausdrücken®), und zwar folgendermaßen: 
*) Jeder singuläre Kreis kann definiert werden als der Schnitt eines 
Minimalkegels mit einer die Spitze des Minimalkegels nicht enthaltenden 
Minimalebene. Vgl. auch Nr. 13 Anm. '), p. 191. 
2) E. Study, A. C. 
2) Daß sich alle fundamentalen Elemente einer krummen Linie aus 
denjenigen ableiten lassen, die sich auf ihre zwei Minimalevoluten be- 
ziehen, hat bereits Herr Vessiot in der weiter oben zitierten Note aus- 
gesprochen. Die doi't angekündigte Arbeit, in der u. a. dieser Gedanke 
weiter ausgeführt werden sollte, scheint nicht erschienen zu sein. 
