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L. Berwald 
^ ^ _ 1 — 415"— 3g'-+ 
s'* ’ 
(l-ls")(l-21s")(l-3j6")+2sV"{2-31s")+ls'V^Vs'*(l-l5")J'^Jls‘y'l 
S'6 
Besteht dagegen die Gleichung (2) identisch für jeden Wert 
von p, so stellen die Formeln (1) eine krumme ebene sin- 
guläre Linie dar. Sei als System von charakteristischen 
Invarianten für eine solche krumme Linie das System der 
beiden Größen 
A 
(x'lx')(x'x"co)' 
gewählt, in denen 
(z' \x') B — h{x' x') A 
{x' x'y{x'x'‘\x'co) 
B = 
(lA 
dp 
A = {x'x" x'co) — 3(x'x" x“(o), 
— (x' X^*^ ' x' Cü) — (x'x‘"lx‘'(o) — i(x'x" x“‘co) 
ist. Dann gilt der Satz: 
Für jede krumme ebene singuläre Linie, mit Aus- 
nahme der singulären Kreise, lassen sich die charak- 
teristischen Invarianten F. F^ durch die Ableitungen 
ihrer Bogenlänge nach einem natürlichen Parameter 
einer krummen Minimallinie folgendermaßen aus- 
drück e n : 
(4) 
1 -1-215" 
5 '* 
Dabei ist die Bogenlänge s der krummen ebenen sin- 
I 
I 
cfulären Linie mit der charakteristischen Invariante 
der krummen Minimallinie durch die Differential- 
gleichung (2) verknüpft. — 
Die an die Formeln (1) bzw. Xr. 9 (9) angeschlossenen 
geometrischen Betrachtungen gestatten auch die Beantwortung 
einer auf die Mongescheii Flächen selbst bezüglichen Frage 
(die sich übrigens auch im Anschlüsse an Xr. 10 (4) hätte 
