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188 L. Berwald 
Die Durchführung des gleichen Verfahrens unter Zugrunde- 
legung der zweiten isotropen Ebene m durch t ergibt, unter 
der Voraussetzung, daß die Minimalebenen m nicht sämtlich 
zusammenfallen, eine zweite Mongesche Fläche f. Also: 
AlleMongeschen Flächen, die eine gegebene nicht- 
isotrope krumme Linie zur Zentrakurve haben, lassen 
sich im allgemeinen in Paare von Flächen gleichen 
Krümmungsmaßes anordnen. 
Eine Ausnahme von diesem Satze tritt dann und 
nur dann ein, wenn die krumme Linie in einer Minimal- 
ebene liegt. 
Alsdann nämlich fällt die eine der beiden Minimalebenen m 
durch die Tangenten t von y. beständig mit der Kurvenebene 
zusammen. Behalten wir die oben eingeführten Bezeichnungen 
bei, so ist in diesem Falle nach Nr. 1 (9) der Ort aller Punkte Qr 
diejenige Minimalgerade von m, die durch geht; nach 
Nr. 1 (8) liegen dann sämtliche Punkte Q auf jj.. 
Die zweite Minimalebene m durch die Tangenten r von x 
umhüllt dagegen wieder eine unebene isotrope Fläche i, zu 
welcher nach der oben durchgeführten Konstruktion lauter 
Mongesche Flächen derselben Art gehören. Also: 
Zu einer krummen ebenen singulären Linie als 
Zentrakurve gehört nur eine einzige Mongesche Fläche 
von bestimmtem, möglichen Krümmungsmaße. Alle 
Mongeschen Flächen, die eine gegebene krumme ebene 
singuläre Linie als Zentrakurve haben, sind von der 
gleichen Art. 
Es bleibt noch die Frage zu beantworten: welcher Art 
sind im Falle einer beliebigen nicht-isotropen krummen Linie 
die beiden Flächen des Paares von Mongeschen Flächen [bzw. 
die einzige Fläche], die zur Zentrakurve und ^ zum Krüm- 
mungsmaß haben? Man hat dazu nur zu untersuchen, wie 
sich für eine solche gegebene Kurve y. die von den Minimal- 
ebenen durch die Tangenten t von y. umhüllten isotropen 
