Ül)ei' die Flüchen mit einer einzigen Schar etc. 
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III. Die einfachsten algebraischen Mongeschen Flächen. 
13. Alle Mongeschen Flächen (erster Art), deren 
Zentrakurve ein singulärer Kreis^) ist, sind algebraische 
Flächen dritter Ordnung. 
1 ) Die wichtigsten metrischen Eigenschaften eines singu- 
lären (oder „parabolischen“) Kreises sind folgende: 
Jeder singuläre Kreis >c hat den in seiner Minimalebene in 
gelegenen Punkt A des absoluten Kegelschnittes zugleich 
zum Mittelpunkt und (einzigen) Brennpunkt, und alle Ge- 
raden in m durch A zu Achsen. Die uneigentliche Gerade a 
der Minimalebene in berührt den singulären Kreis x im (ab- 
soluten) Punkte A. 
Wie üblich, ist in diesen Sätzen, wenn «2 einen Kegelschnitt be- 
zeichnet, verstanden unter: 
Durchmesser von xj: die Polare eines uneigentlichen Punktes der 
Kegelschnittebene in Bezug auf X2; 
Achse von X2: ein zur Richtung nach seinem Pol in Bezug auf X2 
senkrecht stehender Durchmesser von X2; 
Mittelpunkt von X2: der Pol der uneigentlichen Geraden der Kegel- 
schnittebene in Bezug auf X2; 
Brennpunkt von xj: der Mittelpunkt eines solchen Geradenbüschels 
(in der Kegelschnittebene) bei dem je zwei in Bezug auf kon- 
jugierte Gerade zueinander senkrecht stehen. 
Weiter findet sich : 
Jede automorphe Bewegung eines singulären Kreises x, 
die keine Identität ist, läßt sich auffassen als Kollineation 
allgemeiner Art der Minimalebene in des Kreises, deren 
sämtliche drei Doppelpunkte in den (absolnten) Punkt A, und 
deren sämtliche drei Doppel geraden in die uneigentliche 
Gerade a der Ebene ni fallen; dagegen ist jede Umlegung der 
Minimalebene 1», die x in sich selbst transformiert, eine Per- 
spektive Transformation der Ebene in, deren Zentrum ein 
von A verschiedener uneigentlicher Punkt von in, und deren 
Achse eine eigentliche Gerade durch A, also eine Minimal- 
gerade von m ist. 
Das Gesagte zeigt, daß und inwiefern man einen singulären Kreis 
als Kreis mit uneigentlichem Mittelpunkt und unbestimmtem 
Halbmesser auffassen kann. Andererseits kann man einen singulären 
Kreis auch als Parabel auffassen, deren Ebene eine Minimalebene 
und deren uneigentlicher Punkt ein Punkt des absoluten 
Kegelschnittes ist. 
