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198 L. Berwald 
Nach Einführung der Bezeichnungen 
(5) a:, +iyi = a, x^ — iy^ = b, = c 
liefert Elimination von X und /t aus (4) die Flächengleichung 
in der Form; 
rei —a 2 )(c(x—i y) — b s ab — c^) 
^ — {bix iy) -\- czf = 0 . 
Die Doppelgerade der Fläche ist stets eine Minimalgerade, 
nämlich die Gerade: 
(7) b{x -\-iy) C 2 = (i, c{x — iy) — & = 
Die zweite Leitgerade hat die Gleichungen: 
(8) c{x-\-iy) — az — Q, c{x — i^J) — 6^ = 0; 
sie steht insbesondere zur ersten Leitgeraden senkrecht, wenn: 
(9) b = 0, 
oder wenn: 
( 10 ) ab^c^=0^) 
ist. Im zweiten Falle, und nur in diesem, ist auch die zweite 
Leitgerade eine Minimalgerade und mit der Doppelgeraden 
identisch. Die Fläche (6) ist dann eine Cayleysche Linienfläche, 
deren feste Tangentialebene längs der Doppelgeraden die durch 
sie gelegte Minimalebene: 
(11) (b^ — c^)x -Y i{J)^ -\- c^)y -\- '2bcz = Q 
ist. 
Man gelangt also in der Tat nur zu den drei obengenannten 
Flächentypen. Ihre Invarianz gegenüber jeder Ahnlichkeits- 
transformation erhellt aus dem weiter oben Gesagten. 
Die im vorstehenden ausgeschlossene Annahme, daß die 
einfache Leitgerade der Fläche dritter Ordnung eine uneigent- 
liche Gerade ist, ist oflPenbar unmöglich, ohne daß die Fläche 
1) & = 0, c = 0 kann nicht gleichzeitig erfüllt sein, ohne daß die 
Fläche (6) zerfällt. 
